虚数って何に使うの？

電気科2年生の「電気基礎」の研究授業を参観。

高校の数学に出てくる，「虚数（複素数）」が使われている。

よく，

「こんなありえない数を考えて何になるの」

というやつである。

電気科の生徒にとって，虚数imaginary numberは想像上の数ではなく，計算対象の実在する数である。

前の時間までが，抵抗RとコイルL の直列回路で続きの抵抗RとコンデンサC。

交流では，電圧も，電流も虚数で表現されるのである。＞以前の記事

RC直列回路①

記号法による計算（電圧，電流を求める）

抵抗R の記号に抵抗のある人は多いなｗ

Q:電流 I[A]を求める。

①　容量性リアクタンス $X_{C}=-j\frac{1}{\omega C}$

　といきなり，虚数単位 $j$ （$j^2=-1$）が出てくる。数学の $i$ を使わないのは，$i$ は交流電流の記号だから$i$の次の文字$j$を虚数単位に使う。といって，この授業では大文字の$I$を使っている。でも発音が同じだから，やはり $j$ でいいな。

　もともと，$X_{C}=\frac{1}{j\omega C}$であるが，分母分子に $j$をかけて，

　$X_{C}=\frac{1}{j\omega C}=\frac{j}{j^2\omega C}=\frac{j}{(-1)\omega C}=-j\frac{1}{\omega C}$ 

　角速度 $\omega =2\pi f$ でプリントでは，$f=60$[Hz] より，$\omega=2\times 3.14\times 60=376.8$ [rad/sec]

　プリントには，$C=884$[μF] とあるから，

　　$\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{376.8\times 0.000884}=\frac{1}{0.333}=3$

したがって，$X_{C}=-j3$

884 はここがきれいな数字になるようにしたのね。

②　合成インピーダンス $\dot{Z}=R-j\frac{1}{\omega C}$

　　$Z=\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C})^2}$

　プリントでは $R=4$[Ω]より，$\dot{Z}=4-j3$

　　$Z=\sqrt{4^2+3^2}=5$ これは$\dot{Z}$の大きさ。（数学では「絶対値」という。）

③　偏角 $\theta=\tan^{-1}\frac{(-\frac{1}{\omega C})}{R}=\tan^{-1}\frac{-3}{4}$

　関数電卓をたたいて，$\theta=-0.644$

　$-37$度くらいと思う。$-0.644$は1周360度=$2\pi=6.28$の弧度法（radian）

　そもそも，角速度 $\omega =2\pi f$ の $2\pi=6.28$ は弧度法である。

　このクラスでは自分は数学を教えていて，１学期に複素数，三角関数，ベクトルを扱ったけれど，三角関数は度数法だけ。電気科は普通にラジアンを使うのか。

④　極形式 $\dot{Z}=Z\angle\theta$ の表示にする。

　　$\dot{Z}=5\angle -0.644$

　この書き方，いいな。数学IIIなら，$\dot{Z}=Z(\cos\theta+j\sin\theta)$，電磁気学の本なら$\dot{Z}=Ze^{j\theta}$ と書くけれど，数学III流は式が長い（さらに偏角は２カ所だ）し，高校の数学では「虚数乗」は出てこないし，「絶対値（大きさ）」と「偏角」だけが分かればいいので，$Z\angle\theta$ の書き方は便利だと思った。

    

⑤　$\dot{I}=\frac{\dot{V}}{\dot{Z}}$

　プリントでは電圧 $\dot{V}=100\angle0$[V] （大きさ100，偏角0）より，

　$\dot{I}=\frac{\dot{V}}{\dot{Z}}=\frac{100\angle0}{5\angle -0.644}=\frac{100}{5}\angle{(0-(-0.644))}=20\angle{0.644}$

　ということで，偏角が0でないので，この電流は虚数である。

　これが実在する虚数。実際は偏角が電圧に対する，電流の位相のずれを表していて，0.644ラジアン=約37度位相が進んでいることを表している。

　複素数のかけ算は，大きさ（絶対値）の積，偏角の和

　　$(Z_{1}\angle\theta_{1})(Z_{2}\angle\theta_{2})=Z_{1}Z_{2}\angle(\theta_{1}+\theta_{2})$

　わり算は，大きさ（絶対値）の商，偏角の差

　　$\frac{Z_{1}\angle\theta_{1}}{Z_{2}\angle\theta_{2}}=\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\angle(\theta_{1}-\theta_{2})$

と単純化できる。しかし，「絶対値」，「偏角」は数学IIIなので，2年生の数学には出てこない。

授業の実施はここまで。

プリントは，さらに，図にある抵抗の両端の電圧$\dot{V}_{R}$，コンデンサの両端の電圧$\dot{V}_{C}$ のベクトルの和が，電源電圧$\dot{V}$となっているベクトル図を書かせる内容に続いていた。

オームの法則で，電圧=電流×電圧 なので，

抵抗の両端の電圧$\dot{V}_{R}=\dot{I}\times R=20\angle{0.644}\times 4=80\angle{0.644}$

コンデンサの両端の電圧は容量性リアクタンス$X_{C}=-j3$の偏角は$-\frac{\pi}{2}=-1.57$より，$\dot{V}_{C}=20\angle{0.644}\times 3\angle{-1.57}=60\angle{0.644-1.57}=60\angle-0.926$

これはベクトル図にするには直交形式の方がわかりやすいかも。

どう扱うかはわからないけど。

けれど，この大きさ（絶対値）と偏角のかけ算わり算は数学IIIの範囲なので，これまで数学の授業では扱っていない。

数学IIの範囲の計算なら，

⑤　$\dot{I}=\frac{\dot{V}}{\dot{Z}}=\frac{100}{4-3j}=\frac{100(4+3j)}{(4-3j)(4+3j)}=\frac{100(4+3j)}{4^2-3^2j^2}=\frac{100(4+3j)}{16-9(-1)}=\frac{100(4+3j)}{25}$

$=16+12j$ となる。

極形式は数学IIIの範囲で，大きさは$\sqrt{16^2+12^2}=20$ 偏角は $\theta=\tan^{-1}\frac{12}{16}=0.644$ より，$\dot{I}=20\angle0.644$ である。

複素数のかけ算，わり算は，極形式の方が便利なのである。

電流$\dot{I}$を基準とするベクトル図はこうかな。

$\dot{V}=\dot{V}_{R}+\dot{V}_{C}$ とベクトルの和となる。ベクトルの和は，1学期の数学の授業では扱った。

この数学IIの直交形式の電流$\dot{I}=16+12j$ より，

抵抗の両端の電圧$\dot{V}_{R}=\dot{I}\times R=(16+12j)\times 4=64+48j$

コンデンサの両端の電圧$\dot{V}_{C}=\dot{I}\times X_{C}=(16+12j)\times (-3j)=-36j^2-48j=36-48j$。

いずれも，虚数の電圧。

$V=V_{R}+V_{C}=(64+48j)+(36-48j)=100=100\angle 0$ とつじつまが合うわけだ。

　そして，電力=電圧×電流 も当然複素数となる。その複素数の偏角のcos が「力率」で，実部が有効電力。虚部が無効電力で発電所に戻るでエネルギーである。

　数学III では極形式の絶対値5，偏角 -0.644 は$5(\cos(-0.644)+i \sin(-0.644)$ という形であるが，この書き方はあまり好きでない。

というのは，たとえば，複素数 $1-i$ の絶対値は$\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$，偏角$-\frac{\pi}{4}$ なので，

　$1-i=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4})+i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

であるが，これを

　$1-i=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})-i\sin(\frac{\pi}{4}))$

のようにする生徒が多発するからである。

　なので，自分が数学IIIを担当したときは，「絶対値」「偏角」に着目した，

　　$\cos\theta+i\sin\theta=e^{\theta i}$

と天下りに決めて，

　　$1-i=\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{4}i}$

と書かせたりした。それよりも$\sqrt{2}\angle-\frac{\pi}{4}=1.4\angle-0.79$ の方がずっといいな。