1+2+3+...=-1/12

1+2+3+...+10 = 55

とか。

公式があって、＞以前の記事

\[1+2+3+...+n=\frac{1}{2}n(n+1)\]

なので、

1+2+3+...+100 = 100×101÷2 = 5050

当然 n→∞ のとき、

1+2+3+...→∞

のはず。

でも・・・

S = 1+2+3+4+5+6+7+...

４倍

4S = 4+8+12+...

 S = 1+2+3+4+5+6+7+...

4S = 0+4+0+8+0+12+0+...

一つおきに縦に引いて

S-4S = 1-2+3-4+5-6+7-...

つまり

-3S = 1-2+3-4+5-6+7-...

これをずらしてたてに足すと

-3S = 1-2+3-4+5-6+7-...

-3S = 0+1-2+3-4+5-6+...

-6S = 1-1+1-1+1-1+1-...

これをずらしてたてに足すと

-6S  = 1-1+1-1+1-1+1-...

-6S  = 0+1-1+1-1+1-1+...

-12S= 1-0+0... 

     =1

S = -1/12

なので、

S = 1+2+3+4+5+6+7+... = -1/12

怪しい計算だが、解析接続。

Riemann のゼータ関数>以前の記事

\[\zeta(s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots\]

において、

\[\zeta(-1)=\frac{1}{1^{-1}}+\frac{1}{2^{-1}}+\frac{1}{3^{-1}}+\cdots\]

\[=\frac{1}{\frac{1}{1}}+\frac{1}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{\frac{1}{3}}+\cdots\]

\[=1+2+3+\cdots\]

となるが、解析接続で

\[\zeta(-1)=-\frac{1}{12}\]

であるので、＞wolframalpha

\[1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12}\]

が成り立つ。