素数の音楽

録画をやっと見たｗ　＞NHK オックスフォード白熱教室

先生が音色や倍音の説明（フーリエ展開）のとき，トランペットでチャーリー・パーカーを吹いていた．

リーマン予想は，「ゼータ関数の自明でないゼロ点の実部は 0.5」というもの．
「ぼくは，数学のテストがゼロ点だ．」
と言いたくなる人は多いだろうｗ

「実部」は複素数 3+7i の 3 のこと．
つまりゼロ点は 0.5 + □i の形になっているという予想．

じゃあゼータ関数って？　というのは置いといてｗ

複素数といえば，「波」である．
テレビでは次の波動の式は出なかったけど，複素数 a+bi について，
\(e^{a+bi}=e^ae^{bi}=e^a(\cos b+i\sin b)\)
において，実部\(e^a\)が振幅，虚部\(e^{bi}\)の bが角速度で，それを 6.28 で割れば振動数．＞以前の記事「研究授業」

だから，ゼロ点は \(e^{0.5 + b i}\) において，振幅＝音量がすべて一定の e^0.5 だ．ということ．
そして，虚部つまり振動数 b が大きな「倍音成分」が加わるほど，ゼータ関数は「素数階段」に近づくという説明をしていた．
つまり，ゼータ関数のゼロ点は，素数階段の近似値，それでできた波形が「素数の音楽」
これは面白い！　難解な数学をこうしてわかりやすく伝えられるというのも才能だ．すごい．

以前見たNスペの「ゼロ点は直線に並ぶ」より，面白かった．
＞以前の記事「Nスペ」


さて，ゼータ関数は
\(\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots\)
つまり「自然数の累乗の逆数の和」である．

s=1 だと，
\(\zeta(1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots\)
は発散する．＞以前の記事「慣れていない」
＞WolframAlphaの計算

s=2 だと，
\(\zeta(2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots \\
=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots\)
π^2/6=1.6449 に収束する．＞以前の記事「sin の因数分解」
＞WolframAlphaの計算


こんな「自然数の累乗の逆数の和」でしかないゼータ関数は，素数の式の無限積で表せる．
だから素数と密接な関わりがあるわけだ．＞以前の記事「調和級数と素数」

ゼロ点とは，
\(\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots=0\)
になる s のこと．
具体的には，s が負の偶数 -2，-4，-6，・・・ ならゼロになる．これはすぐわかるという意味で，「自明なゼロ点」という．
＞WolframAlphaの計算


自明でないゼロ点の例が s=0.5+14.135i
\(\zeta(0.5+14.135i) \\
=1+\frac{1}{2^{0.5+14.135i}}+\frac{1}{3^{0.5+14.135i}}+\frac{1}{4^{0.5+14.135i}}+\cdots \\
=1+(-0.658522 + 0.257583 i)+(-0.568117 - 0.102839 i)+(0.367302- 0.339249 i)+\cdots \\ =0\)
他の自明でないゼロ点は
0.5+21.022i，0.5+25.011i，・・・
でいつも「実部が0.5」というのがリーマン予想．

これが解決したら，素数を求める式がわかって，巨大数の素因数分解が多項式時間で終わるから，現在のネットの暗号化は使えなくなる．＞以前の記事「公開鍵暗号(RSA)をわかる４」