内積と加法定理

三角比とベクトルのつながりといえば，
余弦定理は「三平方の定理－2×内積」の形をしている，
などと思いだす方法を伝授することがある．＞以前の記事「内積」

あるいは相関係数は cos の値のことだから，
相関係数＝cos＝内積÷大きさ
だよ．とかいろいろつなげて思い出す．自分は丸暗記できぬので，ほかのことから糸をたぐる．＞以前の記事「相関係数＝cosθ 」

そんなネタに，今までブログに書かなかったというか，書く機会がなかったけど，ふと思い出したのが，
「加法定理＝内積」

2つの単位ベクトル\(\vec{x},\ \vec{y}\)を考える．
単位ベクトルは大きさ1のベクトルという意味だから，
\(|\vec{x}|=1,\ |\vec{y}|=1" alt="|\vec{x}|=1,\ |\vec{y}|=1\)である．
これらの横軸となす角がそれぞれ α，βだとすると，2つのベクトルのなす角は
\(\alpha-\beta\)であるから，内積の定義（大きさの積×コサイン）から
\(\vec{x}\cdot\vec{y}=|\vec{x}||\vec{y}|\cos(\alpha-\beta)\)
すなわち，
\(\vec{x}\cdot\vec{y}=1\times1\times\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha-\beta)\)・・・（あ）

半径1 の円周上の，横軸とのなす角がθである点の座標は (cosθ, sinθ)であるから，
2つの単位ベクトル\(\vec{x},\ \vec{y}" alt="\vec{x},\ \vec{y}\)を成分表示すると，
\(\vec{x}=(\cos\alpha,\ \sin\alpha)\)，\(\vec{y}=(\cos\beta,\ \sin\beta)" alt="\vec{y}=(\cos\beta,\ \sin\beta)\) である．
この成分で内積を計算すると，
\(\vec{x}\cdot\vec{y}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)

（あ）と合体させれば，
\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)
と三角関数の加法定理を得る．＞くろべえ「加法定理」を含む記事

残りは
\(\sin(-\theta)=\sin\theta\)
\(\cos(-\theta)=\cos\theta\)

\(\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta\)

などを繰り返し使えば，全部導かれる．

数学はみんなつながってるｗ