リアクタンスと複素数

総合の時間．
最終的には，抽象的な数学の話題に持っていくつもりなのだが．＞以前の記事「リゾルベント」

前回までは，複素数の復習プリントで計算ばかりやらせていた．

今回は，虚数を使う具体例を，実験で見せようかと．カバーを外した扇風機やテスターなど，ガサゴソ持っていった．

まずは，扇風機の直流抵抗を測る．20Ωだった．

ということは，100V につなげば，
100V÷20Ω = 5A
もの電流が流れ，100V×5A=500W もの電力を消費してドライヤー並みの熱風が出るはず．
ところが，交流電流を測ると実際は，0.25A しか流れない．

0.25Aなら，
100V×0.25A=25W
という計算になる．

しかし，扇風機の表示は 20W．
これって誤差の範囲かもしれないけれど，一応理由はつけられる．
「力率は100％じゃない」
ってことかな．

いずれにしても，直流抵抗（レジスタンス）より，交流抵抗（リアクタンス）はかなり大きいことが分かる．
100V÷0.25A = 400Ω
である．
モーターのコイルが交流電流を妨げて（インピードして）いるのである．

扇風機が回転中は，モーターの逆起電力の分，電流が小さくなる．（回転するモーターの発電）
ここで強引に羽根を手で止めると 0.3A になった．（そのためにカバーを外した）
100V÷0.3A = 333Ω

これが，モーターコイル本来のリアクタンスだろう．
あ，直流抵抗が 20Ωだったから，正しくは
√(333^2-20^2)=332.7 Ωかも．まぁそれこそ誤差の範囲か．


コイルは，電流の変化を妨げる働きをするので，交流では電圧の位相よりも電流の位相が90度遅れることがわかっている．
そのへんは絵を描いて説明した．

つまり 100sinθ[V]という電圧変化なら，0.3sin(θ-90度)=-0.3cosθ[A] という電流になる．（本当は 141.4cosθ， 0.42sin(θ-90度)などとなるけれど，面倒くさいので無視）

電圧×電流 が電力だから，（2倍角公式から）
100sinθ × -0.3cosθ= -30sinθcosθ = -15×2sinθcosθ = -15sin2θ [W]

図に書くと，2倍の周期で電力がプラスにもマイナスにも振幅する．
プラス側がコイルに向かう電力，マイナス側が発電所に戻る電力．
どちらも同じ大きさだから，相殺されて，「コイルは電力消費しない」とわかる．

電力はコイルの「磁界」のエネルギーとなり，そのエネルギーが発電所に戻されるイメージになる．

100V で 0.3A なら，30ワット（ハンダゴテくらい）もの電力を食って，煙が出そうなはずだが，コイルの直流成分20Ω とモーターの中の金属にコイルの磁力変化で渦電流が生まれて，弱いIHヒーター状態になる程度の消費しかせず，多分1ワットも消費していないと思う．

これが誘導性リアクタンス．

コイルではなく，普通の抵抗（ハンダゴテ）なら，電圧と電流の位相は同じで，
電圧×電流 が電力だから，（半角公式から）
100sinθ × 0.3sinθ= 30(sinθ)^2 = 30×(1/2)(1-cos2θ)≧0
より，発電所に戻る負の電力はないから，抵抗で30ワットを消費しっぱなしである．


問題を簡単にするため（計算に集中するため），10Ωの直流抵抗とリアクタンス10Ωのコイルが並列に 100V につながっているとする．
10Ωの直流抵抗に流れる電流は 100÷10Ω=10A
10Ωのコイルに流れる電流は 100÷10Ω=10A
で，合計 20A 流れそうだが，位相がずれているので，単純に足せない．

直流抵抗には 10sinθ，コイルには -10cosθ 流れているので，その合計が流れる．
10sinθ+(-10cosθ)
= 10(sinθ-cosθ)
= 10√2 sin(θ-45度)
最後は三角関数の合成公式．

つまり計測される電流は 10+10=20A ではなく 10√2 = 14.14 A となり，皮相電力は
100×14.14 = 1414 VA
でも，抵抗で消費する有効電力は 1000ワットなので，力率70%．
（無効電力は 1000VAR）

で，ここまでは sin cos を使った面倒な計算だった．
これを虚数に置き換えてやる方法がある．

直流抵抗10Ω に流れる電流 100V÷10Ω = 10A
コイルのリアクタンス10Ωに流れる電流は，虚数単位 j (j^2=-1)として，-10j A（位相が遅れるからマイナス）
電流の合計は 10-10j A
複素平面で，(10, -10) は，絶対値 10√2=14.14，偏角 -45度なのはすぐわかる．
これに電圧100Vをかけた 1414VA が皮相電力．位相のズレは -45度．

というように，三角関数なしで計算できるのが，複素数を使う利点．

虚数というと架空の数の印象がある．
こうした位相のズレを，sin cos を使わず表現するにはすこぶる便利な数なのである．

そんなことを書いた，手書きの教材を作った．

1時間で書いたので，この記事のように内容がこなれていなくて，黒板で補足ｗ

さて，延長コードのキャパシタンスをテスターで測ったら，300ピコファラッドだった．今度は電流の位相が進む，容量性リアクタンスを説明して，同調回路でもやろうかな．

電気はシロウトなので，間違っているところがあるかも・・・