頭の体操

知り合いのサイトに中学受験の問題が出ていたので，頭の体操．＞JH2CMHのWeblog

斜線部分HIJKの面積は正方形ABCDの何倍かを求める問題

とりあえず数字を知りたくて，H,I,J,K の位置を力ずくで求めて，面積計算．
H，K は AC を3等分しているから簡単．
I の底辺からの縦位置は，正方形の辺の長さの0.4倍，左の辺から横位置は同じく 0.2倍となった．
J の位置は，直角三角形IEB と 直角三角形JFC が合同であることから決まり，そこから力ずくで計算して数字を知った．

これを小学校算数でできるように考えるのがパズル的で楽しい．
決め手は，直角三角形IEB の直角三角形BEC に対する面積比が \(\frac{1}{5}\) に気づくことである．
直角三角形BEC が2つの直角三角形に2分割されていて，それらが全部相似であることからEI:IB = BI:IC = EB:BC　より EI:IC の長さの比がわかり，面積比が計算できる．
あとは，パズルである．

三角形 ABC は正方形の半分．
三角形 HBC は三角形 ABC の 2/3\(\frac{2}{3}\)
三角形 FKC は三角形 BHC の 1/4\(\frac{1}{4}\)

三角形 IBE は三角形 BEC の 1/5\(\frac{1}{5}\)
三角形 IBC は三角形 BEC の 4/5\(\frac{4}{5}\)
三角形 JFC は三角形 IBE と合同

くらいわかれば十分かな．


次は，四角形ABCDの面積が64平方センチメートルのとき、ABの長さを求める．

とりあえず，「これくらいだろう」適当に整数を当てはめて計算したらビンゴ．
そうなるようにまずは最初は力ずくで求めた．

Dを通り，底辺に平行な直線を上辺とする，長方形PBCQ を考えた．
直角三角形APD と直角三角形DQC は合同．
\(\mathrm{AB}=x\)，\(\mathrm{AP}=y\) とすれば，D の高さが \(x+y\)，\(\mathrm{BC}=10\mathrm{cm}\) が \(x+y+y\)．
あとはそれぞれ面積を文字で表して，\(=64\) なわけだけど，そんな文字計算は小学校算数ではない．

直角三角形APD と直角三角形DQC は合同であることを使う．
Dから BC に下ろした垂線の足を H とすれば，直角三角形DHC を切り取って斜辺を AD に合わせれば，なんと正方形が完成！
それに気づけば，\(8\times8=64\) から一発解決．

算数って楽しいなー

で，今日，ちょっと時間の余ったクラスで，「小学校算数だぞ」といって出題（笑