正四面体の体積

本日の計算．数学I

1辺の長さ1の四面体の体積．
体積は　底面積×高さ÷３　で底面は正三角形なので，すぐに求まる．
面倒なのが高さ．

底面の正三角形BCD の辺BCの中点Mをとれば，DMは正三角形の高さとなり，
$\mathrm{DM}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
底面積は
$\frac{1}{2}\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DM}=\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$
さて，AM=DMであるから，三角形AMD の3辺の長さはわかる．


数学Iではこの3つの長さから，先に三角形ADM の，
$\cos D=\frac{\rm{DA}^2+\rm{DM}^2-\rm{AM}^2}{2\rm{DA}\cdot\rm{DM}}$
$=\frac{1^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{2\cdot 1 \cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
を求めてしまう．（余弦定理）
そして，
$\sin D=\sqrt{1-\cos^2 D}=\sqrt{1-(\frac{1}{\sqrt{3}})^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
高さ
$h=\rm{AH}=\rm{AD}\cos D=1\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
が求まり，体積，
$\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}}{12}$.

余弦定理はもともと，三平方の定理の組み合わせみたいなものなので，cos などを表に出さずに高さの計算はできる．
$\rm{DH}=x$
として，
$\rm{HM}=\rm{DM}-x=\frac{\sqrt{3}}{2}-x$
あとは三平方の定理
$h^2+x^2=1^2$
$h^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}-x)^2=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2$
辺々引いて，$h^2$を消去
$x^2-(\frac{\sqrt{3}}{2}-x)^2=1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2$
$x^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot x -x^2=1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2$
$x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\rm{DH}$
よって高さは
$\rm{AH}=\sqrt{\rm{AD}^2-\rm{DH}^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{\sqrt{3}})^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
より体積が求まる．

さて，形の対称性を使えば，もう少し簡潔に高さが求まる．
Aから底面に垂線AHを下ろす．

このとき，B，C，D は交換可能だから，
△AHB≡△AHC≡△AHD
である．（あるいは３つの直角三角形はAH共通、斜辺が等しいので合同）
したがって，
BH＝CH＝DH
よって，Hは底面の外心で，正弦定理により外接円の半径は
$\rm{DH}=\frac{BC}{2\sin60^\circ}=\frac{1}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
よって高さ
$\rm{AH}=\sqrt{1^2-(\frac{\sqrt{3}}{3})^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
が求まる．


さらに，立方体の中に正四面体があることを用いると，面倒な高さを求めることなく，体積が得られる．

各面の正方形の対角線の長さはどれも等しいので，これは正四面体をなす．

正四面体の辺の長さが１のとき，各面の正方形の対角線の長さが１といえるから，正方形の辺の長さ，つまり立方体の辺の長さは，
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
立方体の体積は，この３乗で，
$\frac{1}{2\sqrt{2}}$
この立方体から，４つの合同な三角錐，
UVQT，PTOQ，ROQV，SOTV
を切り取ったものが正四面体となる．
Tを頂点と考えた三角錐TPOQ の高さは立方体の辺の長さで，$\frac{1}{\sqrt{2}}$
底面POQ は正方形の半分だから，
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
より４つの三角錐の体積はどれも，
$\frac{1}{12\sqrt{2}}$
よって，立方体から４つの三角錐を切り取った，正四面体の体積は，
$\frac{1}{2\sqrt{2}}-4\cdot\frac{1}{12\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{12}$

ついでに，元の立方体の体積は　$\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$なので，立方体の中の正四面体は，元の立方体の体積の 1/3 である．

錐の体積が，
底面積×高さ÷3
となるのは，積分の考え方が必要となる．（無限に分割したものの極限）
つまり，有限回の図形の組み換えで直方体と合同にできない．＞多面体分割のデーンの定理