峠

極限，極限値，極値，極大，極小，極大値，極小値・・・極のつく言葉を並べた．
極限，極限値はlimのやつ．
ここで論じるのは，極値，極大，極小，極大値，極小値．

高校の数学ではしばしば，
「増加から減少にうつる点で，関数は極大になると言い，その値を極大値という」
「減少から増加にうつる点で，関数は極小になると言い，その値を極小値という」
と言う定義を用いる．そして，
「極大値と極小値をまとめて極値と言う」

問題で「関数f(x)の極値を求めよ．」

の答えで「極値は2と3」ではまず点にならない．
「極大値と極小値をまとめて極値と言う」
のだから，答えは極大値と極小値を分けなければならない．

「極小値2，極大値3」
もう少し．

「x=4で極小値2，x=5で極大値3」
が満点．
「極小値f(4)=2，極大値f(5)=3」
でも可．

さて，極大の定義は，
　増加→減少
だがこれで定義できるのは，高校で扱う1変数実数値関数だけである．
多変数実数値関数ではこの定義では不十分．

たとえば，2変数の関数．
　z=f(x,y)
x,y で緯度経度，zが標高と考えれば分かりやすい．

山頂を通過するときは，どの向きに通っても
　増加→減少
になるので山頂は極大である．
z=f(x,y) の極大も「増加→減少」でよさそうだが，実は問題がある．

峠は，どうか？

峠とは旅人にとっては，極大である．
峠とは山の向こうへつながる道で，道の中では最も高いところにであるが，その道は山頂を通ることはない．山の稜線では最も低いところを通るはずである．
山の向こうへ行くことが目的の旅人が，わざわざ山頂目指すわけはなく，山の最も低いところを通るはずなのである．

つまり峠とは，旅人にとっては「増加→減少」の極大である．
しかし山の稜線の中では極小で，登山家が山の稜線に沿って歩く場合は「減少→増加」の極小である．

高校の定義では，峠は通過する方向によって，極大にも極小にもなる点になってしまう．

これを避けるために，普通は次のような定義をする．（かなり大雑把だが）
「関数f(x,…)について，(x,…)=(a,…) を含む十分小さい範囲で最大値をとるとき，関数はその点で極大になるといい，その値を極大値という．」
「どんな方向でも増加→減少なら極大」でもいいのだけれど，3変数関数だったら，10変数関数だったらどうしよう・・・
ということで，早い話，「お山の大将が極大」という定義を用いるのが普通である．
これなら通過する向きは関係なく，「周辺で自分が一番高いから極大」といえるのだ．

もちろん，峠は極大でも極小でもない．