極限は一致ではない

極限の計算で
$\lim_{x\to 2}f(x)=5$
では
x→2 とは「x が 2 以外の値をとりながら 2 に限りなく近づくとき」
という意味で，f(2)=5 が定義されていなくてもよい．（f(2)=5 が定義されていれば，「f(x) は x=2 で連続」という．これが関数の連続の定義）
したがって，f(x)が5になることがないことから，lim　になにか，あいまいなあやふやな印象を持つ人は多いようだ．

極限値は変数が近づく目標となる「定数」である．

さて、「5を目標に動く」とは
「5との差を、すべての正の数より小さくできる」
ということを意味する。（一致ではない）

問「5との差を0.2より小さくできるか」
答「x=2.023なら可」
問「5との差を0.0000007より小さくできるか」
答「x=1.99942なら可」
と必ず答えられるときに
$\lim_{x\to 2}f(x)=5$
と「定義」するのである．

これをε-δ論法 という．
（5との差を「ε」、x と 2 との差をδで表現することが多いため）
つまり

どんな小さい正の数εに対しても，ある正の数δが存在して，
｜x-2｜< δ ならば ｜f(x)-f(2)｜< ε とできる．

とき
$\lim_{x\to 2}f(x)=5$
なのである．
「5との差を0に」といわれたらできなくてもOK（定義されていなくてよい）
「すべての正の数より小」でよい．
そして、「5」は定数でである．
その「定数5」を記号lim という記号で表す約束なのである．
平たく言うと，f(x)≒5 だが、lim f(x)=5 ということになる．

さて，0で割る計算 3/0 は定義されないが，x>0 で x→0　のとき，
$\lim_{x\to +0}\frac{3}{x}=+\infty$
とかいて，「関数 3/x は正の無限大に発散する」という．
これをもって，3/0 は無限と勘違いする人は多い．

0/0は定義されないが，分母も分子も0に収束する極限はいくらでもある．
x=2 で連続な関数では，x→0　ならば，f(x)-f(2)→0，x-2→0 であるが，
$\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=5$
が存在すれば，「5 を f(x) の x=2 の微分係数」と定義する．

極限はそこで関数が定義されていなくてもよいのだ．
だから定義されていないものに対して，極限操作で定義したことにすることはまったく無意味である．
したがって，0^0 は定義されていないのに，
$\lim_{x\to 0}x^x=1$
だからという理由で，0^0=1 とするのは，0/0を微分の定義で決めてしまうことと同じ間違いである．

小テストで，
「『1/n は正の数．正の数は0ではないのに極限が 0 であるのは納得できない．』という人に対してどのように説得しますか．」
という問題を出したことがあった．極限を正しく理解していないと説明できない．