ピタゴラス数をエクセルで

$3^2+4^2=5^2$ とか，三平方の定理 $a^2+b^2=c^2$ を満たす，自然数をピタゴラス数という。

この直角三角形は畳屋さんが

「部屋の直角とのずれを測るの，三四五に使う」

と言っていた。

授業で「無限にあるよ。」と話したけれど，それを見せてやろうとエクセルで作ってみた。

以前，記事に書いたが，自然数 $m$, $n$ に対して，

　　$a=m^2-n^2$, $2mn$, $c=m^2+n^2$

とすると，

　　$a^2+b^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2$

　　　　$=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n$

　　　　$=m^4+2m^2n^2+n^4$

　　　　$=(m^2+n^2)^2=c^2$

となる。この $m$, $n$ に順次，数を入れると，ピタゴラス数を無限に作り出すことができる。

$m=2$, $n=1$ で，

　　$a=2^2-1^2=3$,　$2\times 2\times 1=4$,　$c=2^2+1^2=5$

$m=3$, $n=1$ で，

　　$a=3^2-1^2=8$,　$2\times 3\times 1=6$,　$c=3^2+1^2=10$

は$m=2$, $n=1$ の倍の大きさになっただけ。

$m=3$, $n=2$ で，

　　$a=3^2-2^2=5$,　$2\times 3\times 2=12$,　$c=3^2+2^2=13$

$m>n$ で，順に並べるエクセルの数式を考えた。

$m$ の数式。

$n$が$m$より 1 小さい状態になったら，$m$に1を加えて次の番号に進む。でなければ，$m$は変えない。

$n$ の数式。

$n$ に1加えた数が $m$と等しくなったら，1に戻る。でなければ，$n$ に1を加える。

あとは，1行完成すれば，次の行以降はコピーするだけ。

できあがった，3つの数で，互いに素（最大公約数が1）であるものをフィルターして，

$m$を 100以下まで作ってみた。

最終行は 4951行目。印刷プレビューをしたら，54ページにもなった。

1ページ目と，最終ページのみ印刷して配布。

表を見て気づくこと。

$m$, $n$ は偶奇が異なる。

偶数同士なら，2で割った $m$, $n$ が既出。

奇数同士なら，$m^2$, $n^2$ はそれぞれ奇数だが，その和と差は偶数で，$2mn$ は当然偶数で半分のピタゴラス数が既出。

$a$, $b$ のどれかは3の倍数，どれかは4の倍数。

$a$, $b$, $c$ のどれかは5の倍数

$3^2+4^2=5^2$　は3つがすべて，3, 4, 5 の倍数に分かれるが，最終行は

$b=19800=3\times 4\times 5\times 330$ である。