60度，120度の整数三角形

整数の辺の直角三角形であるピタゴラス数を先日エクセルで計算させてみた。＞以前の記事

60度，120度も整数の辺を持つものがある。それをまたエクセルでやってみた。

辺の長さ2の正三角形の高さは，$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$ である。

なので，辺の長さ8の正三角形の高さは，$4\sqrt{3}=\sqrt{48}$ である。

「$\sqrt{49}$ なら，$\sqrt{49}=7$ で整数になるのにな。」

では，$\sqrt{49}=7$ を作ってしまえばよい。

$4=3+1$ に分割して，直角三角形を作ると，斜辺が 7 となる。

そして，辺の長さ 3 の正三角形を作りこめば，120度の整数三角形1個，60度の整数三角形が2個できる。

3辺が 7, 5, 3 の三角形の 5, 3 のなす角が120度となる「なごみ（和み）三角形」

3辺が 7, 8, 3 の三角形の 8, 3 のなす角が60度となる「なやみ（悩み）三角形」

3辺が 7, 5, 8 の三角形の 5, 8 のなす角が60度となる「なごや（名古屋）三角形」

このネーミングは，何年か前に，県の数学の集まりで，講演者に教えてもらったのだけれど，だれだったかなぁ。芝浦工大の牧下先生だったような気もするが・・・

正三角形の辺を，$3+5$ に分けると，整数三角形ができる。

3, 5 ときたら次は 7。

辺の長さは $3+5+7=15$ の正三角形を作る。

辺の長さ 7, 8 のなす角が 120度となり，その対辺は垂線をおろしての三平方の定理，または余弦定理

$\sqrt{7^2+8^2-2\times7\times8\cos120^\circ}=13$ を得る。

3辺が 13, 7, 8 の三角形の 7, 8 のなす角が120度

3辺が 13, 15, 7 の三角形の 15, 7 のなす角が60度

3辺が 13, 8, 15 の三角形の 8, 15 のなす角が60度

さらに，辺の長さ $3+5+7+9=24$ の正三角形を作る。

辺の長さ 9, 15 のなす角が 120度となり，その対辺は垂線をおろしての三平方の定理，または余弦定理で 21 を得る。

3辺が 21, 9, 15 の三角形の 9, 15 のなす角が120度

3辺が 21, 24, 15 の三角形の 24, 15 のなす角が60度

3辺が 21, 9, 24 の三角形の 9, 2 のなす角が60度

そして，辺の長さ $3+5+7+9=24$，$3+5+7+9+11=35$，・・・無限に続く。

これをエクセルで

表示のオーバーフローまでやってみたｗ

エクセルの式は，

たとえば，1辺が15の正三角形の行は，

120度の2辺を前の行の「正三角形の1辺 8」と「加える奇数 7」として，余弦定理で120度の対辺13 を計算する。$\cos120^\circ=\frac{-1}{2}$ なので，$-2\times8\times7\cos120^\circ=+8\times7$となるから，

=sqrt(8^2+7^2+8*7) をセル参照で作る。

そして，120度の対辺13は，2つある60度の対辺ともなっている。

左側の60度を挟む辺は，前の行の正三角形の1辺 8 と，新たな正三角形の1辺 15である。

右側の60度を挟む辺は，新たな正三角形の1辺 15と足した奇数 7である。

この1行ができれば，あとはコピペでいくらでも。

60度と120度の整数三角形一覧が完成w