(ﾟ∀ﾟ)

キタ━━(ﾟ∀ﾟ)━━ッ!!
に使われる論理記号．

「∀x 式」　は「すべて（任意）の x について，式が成り立つ．」
「∃x 式」　は「x が存在して，それついて式が成り立つ．」
という使われ方をする．述語論理の記号である．＞以前の記事　「すべて」と「ある」

これらの記号の出し方は，「すべて」で変換すると∀，「そんざい」で変換すると∃という記号が出る．∀は「きたー」でも出せるかもｗ

論理式　Lxy を「x loves y」（x は y を愛する）とする．（ただし変数はヒト）
先日の講習での論理学の演習．
ネットで検索すると，たくさん出てくる．ちょっとした演習問題らしい．

∀x∃y Lxy　「すべて x について，yが存在して，x は y を愛する．」
自然な言い回しにすると，「すべての人は，誰かを愛する．」
ふつうはこれかな．
世のすべての人を嫌う破滅的な人もいるかもしれないから，
∃x∃y Lxy　「ある人を愛する人がいる．」
がこの世の中かな．

こんな具合に，∀や∃や変数をいろいろいじるといろんな命題ができる．

∃x∀y Lxy 「すべての人を愛する人がいる．」xは聖人ですね．
∀x∀y Lxy 「すべての人が，すべての人を愛する．」皆が聖人．けんかや戦争など起きません．

y is loved x　にしてみる．
∀y∃x Lxy　「すべての人が，誰かに愛される．」孫は絶対に祖父母から愛される．（自分の経験ｗ）
∃y∀x Lxy　「すべての人に愛される人がいる．」真のアイドルだ．

否定を組み合わせるともっと複雑でおもしろい．
先日の講習ではここから2つほど問題に出た．

高校の数学では，命題を表す記号の上に横線を引く．これだと画像を使わないとネットでは書けない．
$\overline{p\,\rm{ or }\,q}=\bar{p}\,\rm{ and }\,\bar{q}$
このド・モルガン法則を「ひてい」を変換して出てくる記号　￢ で書き直せば，
￢(p or q)＝￢p and ￢q
と書けば，画像に頼ることなくブログに書ける．

Lxy　の否定，￢Lxy 「x does not love y」（xはyを愛さない＝嫌い）

∃x∃y ￢Lxy　「誰かが誰かを嫌う．」皆聖人ではないからね．
つまり「皆聖人」＝「∀x∀y Lxy」を否定しているので，
∃x∃y ￢Lxy　＝　￢（∀x∀y Lxy）
ということになる．これが，ド・モルガンの法則．

ド・モルガンの法則は，全体否定と部分否定の入れ替えの法則である．
∀や∃の否定は．
「すべての x で式が成り立つ」を否定すると「式が成り立たない x が存在する．」
だから，
￢（∀x 式）　＝　∃x￢（式）
￢（∃x 式）　＝　∀x￢（式）・・・「あるxで式が成り立つ」の否定が「すべての x で式が成り立たない．」


∀x∃y￢Lxy　どの人もだれか愛さない人が存在する．
ド・モルガンの法則によれば，
∀x∃y￢Lxy　＝　￢（∃x∀y Lxy）＝￢（聖人がいる）＝聖人はいない．

∃x∀y￢Lxy　だれも愛さない人がいる．
ド・モルガンの法則によれば，
∃x∀y￢Lxy　＝　￢（∀x∃y Lxy）＝　￢（すべての人は，誰かを愛する．）

さて，
∀y∃x￢Lxy　すべての人が誰かから嫌われる．
はまだしも，
∃y∀x￢Lxy
はかなり気の毒だし，
∀x∀y￢Lxy
は，社会の破滅．

二重否定は肯定というのは論理学の基礎で，排中律という．
￢￢A＝A
でも，日常語の二重否定は婉曲な言い回しをしたいときに使われるから，そこが論理と違うところではある．
が，もしかしたら，￢￢∀　が　￢∃￢　になったりするのとなにか関係あるのかもしれぬ．