狭義単調関数の最大値

問　f(x)が有界閉区間Ｉ上で定義された単射な連続関数ならば，f(x)はIの端点で最大値，最小値をとることを示せ．

連続で単射なら，狭義単調だからあたりまえとしか言えないのだが，証明しろというならこんな感じかな．

(証明)
a，b∈I とする．
単射であることから，a≠b ⇒ f(a)≠f(b)
ここで，a＜b とする．
f(a)≠f(b) より，f(a)＜f(b) あるいは f(a)＞f(b) のどちらか一方だけが成り立つ．

f(a)＜f(b) の場合は，
a＜c＜b に対して，f(a)＜f(b)＜f(c) となったならば，a＜c，f(a)＜f(c) から，中間値の定理により，f(a)＜m＜f(c) かつ m＝f(d)＝f(b)かつ a＜d＜c を満たす d≠b が存在し，f(x) が単射であることに反する．
つまり，どの a，b，c についても，a＜c＜b ならば，f(a)＜f(c)＜f(b) でなければならない．
つまり，任意の a，b ∈I に対して，
a＜b ⇒ f(a)＜f(b)
なので，f(x) は狭義単調増加．


同様に f(a)＞f(b) の場合も，任意の a，b ∈I に対して，
a＜b ⇒ f(a)＞f(b)
なので，f(x) は狭義単調減少．

ここで，f(x) は狭義単調増加とする．
最大値の定理によって，有界閉区間で定義された連続関数は最大値 f(p)，最小値f(q)， p，q∈I をもつ．
p，q が端点ではないとすると，c＜p＜d，c＜q＜d を満たす c，d∈I が存在する．
f(x) は狭義単調増加なので，c＜p＜d ⇒f(c)＜f(p)＜f(d)，(p，c，d∈I) となり，f(p) が最大値であることに反する．
f(x) は狭義単調増加なので，c＜q＜d ⇒f(c)＜f(q)＜f(d)，(q，c，d∈I) となり，f(q) が最小値であることに反する．
したがって，p，q は端点である．
f(x) が狭義単調減少の場合も同様．

「背理法」でちょっとかっこつけてみた（笑

最大値の定理を証明するみたいに，点列で直接証明できるかな．
(証明)
a，b∈I とする．
単射であることから，a≠b ⇒ f(a)≠f(b)
ここで，a＜b とする．
f(a)≠f(b) より，f(a)＜f(b) あるいは f(a)＞f(b) のどちらか一方だけが成り立つ．

f(a)＜f(b) の場合は，
a＜c＜b に対して，f(a)＜f(b)＜f(c) となったならば，a＜c，f(a)＜f(c) から，中間値の定理により，f(a)＜m＜f(c) かつ m＝f(d)＝f(b)かつ a＜d＜c を満たす d≠b が存在し，f(x) が単射であることに反する．
つまり，どの a，b，c についても，a＜c＜b ならば，f(a)＜f(c)＜f(b) でなければならない．
つまり，任意の a，b ∈I に対して，
a＜b ⇒ f(a)＜f(b)
なので，f(x) は狭義単調増加．

f(a)＞f(b) の場合は，任意の a，b ∈I に対して，
a＜b ⇒ f(a)＞f(b)
なので，f(x) は狭義単調減少．

ここで，f(x) は狭義単調増加とする．

閉区間 I は点列コンパクトだから，の上端 d に収束する数列
a1＜a2＜a3＜・・・＜an，∈I
が存在する．このとき，
f(a1)＜f(a2)＜f(a3)＜・・・＜f(an)
は f(x) の狭義単調性から任意の an について，f(an)＜f(d) である．
f(x) は連続だから， an の極限が b より，f(an) の極限は f(d)
で f(d) は最大値であり，端点に最大値を持つ．
最小値も同様．




やっぱ，コンパクトの概念って便利だなぁ．＞以前の記事
そこに逃げるのって，ちょっとずるいかな？
でも，微積の教科書なんかでは，結構，完備とかコンパクトの概念使って，証明の記述量を節約しているよね（笑