コンパクト

完備とは「コーシー列は収束する」と思ってたら，最近見た本には「有界な数列は収束する部分列を含む」と表現されていて，それを実数の連続の公理として利用していた．

これってBolzano-Weierstrassの定理だけど，まぁ，ここからコーシー列の収束がすぐに示されるから，これを「完備」と言っても同じこと．
で，連続の公理は同値が命題が山ほどあって，どれかを仮定すれば，他が証明される．

逆に，これに似た言い方で，定義するのが点列コンパクト．
「集合K の任意の点列が，Kの点に収束する部分列を持つ．」
だっけ．

実数なら，点列コンパクトと有界閉集合は同値．
さらに普通のコンパクトとも同値．（ハイネ・ボレル）
集合Kがコンパクトは，それを含む有限個の開被覆が存在すること．

でやっぱり，「コーシー列は収束する」完備とつながる．

なぁ～んてことが，試験監督しながら頭を巡ったｗ

コンパクトだとうれしいのが，数学IIIに出てくる中間値の定理とか最大値の定理が証明できること．（ついでにこいつらも連続の公理と同値）
区間縮小法を使う証明と，点列を使う証明とではどちらが便利かな．この辺は解析の本を手に取ると，必ずその方針と，連続の公理の取り方に着目してしまう．
以前，進学校の数IIIの授業では，Bolzano-Weierstrass から最大値の定理を証明したけど，どんな公理にしたのだったか．いや，「公理」なんて言わなかったかも．
この辺は，「教育的配慮」の問題になってくる．

当時の小テストの問題＞ 数学III抜き打ちテスト