本日の計算（数列の和）

面倒なだけの問題．答えが合わぬというので，合わせてやった．
問　$\frac{23}{111}$ を $0.a_1a_2a_3\ \cdots$ のように小数で表す．すなわち，小数第k位の数を$a_k$ とする．このとき，$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}$ を求めよ．

解答

$\frac{23}{111}=0.207207207\ \cdots$ より，$a_1=2$，$a_2=0$，$a_3=7$，$a_4=2$，$a_5=0$，$a_6=7$，$a_7=2$ ・・・
したがって，
$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ +\frac{?}{3^{n-2}}+\frac{?}{3^{n-1}}+\frac{?}{3^{n}}$

n が3の倍数のとき．
$n=3l$なら，
$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\ +\frac{2}{3^{n-5}}+\frac{0}{3^{n-4}}+\frac{7}{3^{n-3}}+\frac{2}{3^{n-2}}+\frac{0}{3^{n-1}}+\frac{7}{3^{n}} \\ =\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{7}{3^{3l-3}}+\frac{2}{3^{3l-2}}+\frac{0}{3^{3l-1}}+\frac{7}{3^{3l}}\\ =\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right) \\ + \left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\right)\\ + \left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}}+\frac{7}{3^{3l}}\right)$

$\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right)$ は初項 $\frac{2}{3}$ 公比$l$ の等比数列の和なので，
$\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^l}{1-\frac{1}{3^3}} =\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\frac{1}{3^{3l}}}{\frac{26}{27}} =\frac{2}{3}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l}}\right) =\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)$

$\left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\right)$ は初項 0 なので，すべての項が0だから，和は0．

$\left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}}+\frac{7}{3^{3l}}\right)$ は初項 $\frac{7}{3^3}$ 公比$\frac{1}{3^3}$ 項数$l$ の等比数列の和なので，
$\frac{7}{3^3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^l}{1-\frac{1}{3^3}} =\frac{7}{3^3}\frac{1-\frac{1}{3^{3l}}}{\frac{26}{27}} =\frac{7}{27}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l}}\right) =\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)$
したがって，n が3の倍数のとき，
$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)+\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)=\frac{25}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)$


つづいて，n が3の倍数より1少ないとき．
つまり，$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\ +\frac{2}{3^{n-5}}+\frac{0}{3^{n-4}}+\frac{7}{3^{n-3}}+\frac{2}{3^{n-2}}+\frac{0}{3^{n-1}} \\ =\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{7}{3^{3l-3}}+\frac{2}{3^{3l-2}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\\ =\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right) \\ + \left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\right)\\ + \left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}}\right)$

$\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right)$ は初項 $\frac{2}{3}$ 公比$\frac{1}{3^3}$ 項数$l$ の等比数列の和なので，
$\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^l}{1-\frac{1}{3^3}} =\frac{2}{3}\frac{1-\frac{1}{3^{3l}}}{\frac{26}{27}} =\frac{2}{3}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l}}\right) =\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)$
（n が3の倍数のときと違って，3l=n+1 であることに注意）

$\left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\right)$ は初項 0 なので，すべての項が0だから，和は0．

$\left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}}\right)$ は初項 $\frac{7}{3^3}$ 公比$\frac{1}{3^3}$ 項数$l-1$ の等比数列の和なので，
$\frac{7}{3^3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^{l-1}}{1-\frac{1}{3^3}} =\frac{7}{27}\cdot\frac{1-\frac{1}{3^{3(l-1)}}}{\frac{26}{27}} =\frac{7}{27}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l-3}}\right)\\ =\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+1-3}}\right) =\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n-2}}\right)$
（3l=n+1 であることに注意）

したがって，n が3の倍数より 1 小さいとき，
$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)+\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n-2}}\right)\\ =\frac{1}{26}\left(18-\frac{18}{3^{n+1}}\right)+\frac{1}{26}\left(7-\frac{7}{3^{n-2}}\right) \\ =\frac{1}{26}\left(18-\frac{2\cdot3^2}{3^{n+1}} + 7-\frac{7}{3^{n-2}}\right) \\ =\frac{1}{26}\left(25-\frac{2}{3^{n+1-2}}-\frac{7\cdot3}{3^{n-2}\cdot3}\right) \\ =\frac{1}{26}\left(25-\frac{2}{3^{n-1}} -\frac{21}{3^{n-1}}\right) \\ =\frac{1}{26}\left(25-\frac{23}{3^{n-1}} \right)$

最後に，n が3の倍数より2少ないとき．
つまり，$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\ +\frac{2}{3^{n-5}}+\frac{0}{3^{n-4}}+\frac{7}{3^{n-3}}+\frac{2}{3^{n-2}}+\frac{0}{3^{n-1}} \\ +\frac{2}{3^{n-5}}+\frac{0}{3^{n-4}}+\frac{7}{3^{n-3}}+\frac{2}{3^{n-2}} \\ =\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{7}{3^{3l-3}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\\ =\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right) \\ + \left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}\right)\\ + \left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}}\right)$

$\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right)$ は初項 $\frac{2}{3}$ 公比$\frac{1}{3^3}$ 項数$l$ の等比数列の和なので，
$\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^l}{1-\frac{1}{3^3}} =\frac{2}{3}\frac{1-\frac{1}{3^{3l}}}{\frac{26}{27}} =\frac{2}{3}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l}}\right) =\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+2}}\right)$
（3l=n+2 であることに注意）

$\left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\right)$ は初項 0 なので，すべての項が0だから，和は0．

$\left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}}\right)$ は初項 $\frac{7}{3^3}$ 公比$\frac{1}{3^3}$ 項数$l-1$ の等比数列の和なので，
$\frac{7}{3^3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^{l-1}}{1-\frac{1}{3^3}} =\frac{7}{27}\cdot\frac{1-\frac{1}{3^{3(l-1)}}}{\frac{26}{27}} =\frac{7}{27}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l-3}}\right)\\ =\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+2-3}}\right) =\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n-1}}\right)$
（3l=n+2 であることに注意）

したがって，n が3の倍数より 2 小さいとき，
$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+2}}\right)+ \frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n-1}}\right)\\ =\frac{1}{26}\left(18-\frac{18}{3^{n+2}}\right)+ \frac{1}{26}\left(7-\frac{7}{3^{n-1}}\right)\\ =\frac{1}{26}\left(18-\frac{2\cdot3^2}{3^n\cdot3^2}\right)+ \frac{1}{26}\left(7-\frac{7\cdot3}{3^{n-1}\cdot3}\right)\\ =\frac{1}{26}\left(18-\frac{2}{3^n}\right)+ \frac{1}{26}\left(7-\frac{21}{3^n}\right)\\ =\frac{1}{26}\left(18-\frac{2}{3^n} + 7 -\frac{21}{3^n}\right)\\ =\frac{1}{26}\left(25-\frac{23}{3^n}\right)$


答．
n が3の倍数のとき，$\frac{25}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)$
n が3の倍数より1小さいとき，$\frac{1}{26}\left(25-\frac{23}{3^{n-1}} \right)$
n が3の倍数より2小さいとき，$\frac{1}{26}\left(25-\frac{23}{3^n}\right)$