四平方の定理（２）

おとといの四平方の定理の話題．
高校数学では外積を扱わなくなってしまったので，普通に面積を計算したが，外積を使うと一瞬で証明される．

ベクトル $\vec{u}=(u_1,\ u_2,\ u_3)$，$\vec{v}=(v_1,\ v_2,\ v_3)$の外積
$\vec{u}\times\vec{v}=\left(\left| \begin{array}{cc} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \\ \end{array} \right|,\ \left| \begin{array}{cc} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \\ \end{array} \right|,\ \left| \begin{array}{cc} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \\ \end{array} \right|\right)$
$=(u_2 v_3-u_3 v_2,\ u_3 v_1-u_1 v_3,\ u_1 v_2-u_2 v_1)$
は一つのベクトルで，向きは元の2つのベクトル $\vec{u}$ と $\vec{v}$ に垂直であり，大きさ
$\sqrt{(u_2 v_1 - u_1 v_2)^2 + (u_3 v_1 - u_1 v_3)^2 + (u_3 v_2 - u_2 v_3)^2}$
は $\vec{u}$ と $\vec{v}$ を隣り合う辺とする平行四辺形の面積になる．


この「面積」を使えば，一瞬に証明されるわけだ．
「三角形ABCの面積$S_0$，三角形OABの面積$S_1$，三角形OBCの面積$S_2$，三角形OCAの面積$S_3$としたとき，
$S_1^2+S_2^2+S_3^2=S_0^2$
を満たす」
（証明）

図において，Oを原点とし，$\vec{\mathrm{OA}}=(a,\ 0,\ 0)$，$\vec{\mathrm{OB}}=(0,\ b,\ 0)$，$\vec{\mathrm{OC}}=(0,\ 0,\ c)$とする．

OA，OBを2辺とする長方形の面積は　$T_1=ab$
OB，OCを2辺とする長方形の面積は　$T_2=bc$
OC，OAを2辺とする長方形の面積は　$T_3=ca$

$\vec{\mathrm{AB}}=\vec{\mathrm{OB}}-\vec{\mathrm{OA}}=(-a,\ b,\ 0)$
$\vec{\mathrm{AC}}=\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OA}}=(-a,\ 0,\ c)$
AB，ACを2辺とする平行四辺形の面積$T_0$は
$\left| \vec{\mathrm{AB}}\times\vec{\mathrm{AC}}\right|=\left|(-a,\ b,\ 0)\times(-a,\ 0,\ c)\right| \\ =\left| \left( \left| \begin{array}{cc} b & 0 \\ 0 & c \\ \end{array} \right|,\ \left| \begin{array}{cc} 0 & -a \\ c & -a \\ \end{array} \right|,\ \left| \begin{array}{cc} -a & b \\ -a & 0 \\ \end{array} \right| \right)\right| = \left| (bc-0,\ 0-(-a)c,\ 0-b(-a))\right| \\ =\left|(bc,\ ca,\ ab)\right|=\sqrt{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}$
と結果を見ると，ほとんど証明されいている．
$T_1^2+T_2^2+T_3^2=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2=T_0^2$

OA，OBを2辺とする三角形の面積は　$S_1=\frac{T_1}{2}$
OB，OCを2辺とする三角形の面積は　$S_2=\frac{T_2}{2}$
OC，OAを2辺とする三角形の面積は　$S_3=\frac{T_3}{2}$
AB，ACを2辺とする三角形の面積は　$S_0=\frac{T_0}{2}$
より，
$S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{T_1^2}{4}+\frac{T_2^2}{4}+\frac{T_3^2}{4}=\frac{T_0^2}{4}=S_0^2$