積分 1/(x^6+1) だって．ついでに 1/(x^4+1)も書いた

またしても検索語．今度は
＞積分　1/(x^6+1)
だって．
最近は，この手の積分がはやっているのか？

$\hspace{5mm}x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)\\ \hspace{5mm}=(x^2+1)(x^4+2x^2+1-3x^2) = (x^2+1)((x^2+1)^2-(\sqrt{3}x)^2) \\ \hspace{5mm}=(x^2+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)(x^2+\sqrt{3}x+1)$
と因数分解できるから，
$\hspace{5mm}\frac{1}{x^6+1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{6}\cdot\frac{\sqrt{3}x-2}{x^2-\sqrt{3}x+1}+\frac{1}{6}\cdot\frac{\sqrt{3}x+2}{x^2+\sqrt{3}x+1}$
と部分分数にわけられて，その積分は，昨日の記事のとおりに計算すれば，
$\hspace{5mm}\frac{1}{3}\arctan x\\ \hspace{10mm}+\frac{1}{6}\arctan{(2x-\sqrt{3})}-\frac{1}{4\sqrt{3}}\log(x^2-\sqrt{3}x+1)\\ \hspace{10mm}+\frac{1}{6}\arctan{(2x+\sqrt{3})}+\frac{1}{4\sqrt{3}}\log(x^2+\sqrt{3}x+1)$
とちょちょいのちょい．

さらについでに，1/(x^4+1) の積分も，大差ないので，書いてみる．
$\hspace{5mm}x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1)^2-(\sqrt{2}x)^2\\ \hspace{5mm}=(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)$
と因数分解できるから，
$\hspace{5mm}\frac{1}{x^4+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{x+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}x+1}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{1-\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}x+1}$
と部分分数に分けられて，その積分は
$\hspace{5mm}\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(2\arctan(\sqrt{2}x+1)+\log(x^2+\sqrt{2}x+1)\right.\\ \hspace{10mm}\left.+2\arctan(\sqrt{2}x-1)+\log(x^2-\sqrt{2}x+1)\right)$

検索した人はこれをコピペして宿題を完成させればいいw


＞＞積分の記事