本日の計算(2次方程式)

2次方程式
$ax^2+bx+c=0$

数I　教科書の手順は
$ax^2+bx+c=0$
$ax^2+bx=-c$
$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$　　（口をすっぱくしたいところ）
$x^2+2\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2$
$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$
$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}$
$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
$b^2-4ac\ge 0$のとき
$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$
$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}$
$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$・・・あれ？
$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$


教科書では無視して通過している「あれ？」のところ．
「あれ？」と言わせないためには，
a>0の場合，a<0の場合に分けねばならぬ．つまり　$\sqrt{P^2}=|P|$ としなければならないところを，素通りするのは気持ち悪いが，勢いに任せて無視するｗ その面倒がないのが，テクニカルな変形． $ax^2+bx+c=0$ $ax^2+bx=-c$ $4a^2x^2+4abx=-4ac$ $(2ax)^2+2(2ax)b+b^2=b^2-4ac$ $(2ax+b)^2=b^2-4ac$ $b^2-4ac\ge 0$ならば， $2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}$ $2ax=-b\pm\sqrt{b^2-4ac}$ $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ として，避けて通れるが・・・ 次の変形はやりすぎ？ $ax^2+bx+c$ $=\frac{1}{4a}(4a^2x^2+4abx+4ac)$ $=\frac{1}{4a}((2ax)^2+2(2ax)b+b^2-(b^2-4ac))$ $=\frac{1}{4a}((2ax+b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2)$ $=\frac{a}{(2a)^2}((2ax+b-\sqrt{b^2-4ac})(2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}))$ $=\frac{a}{2a}(2ax+b-\sqrt{b^2-4ac})\frac{1}{2a}(2ax+b+\sqrt{b^2-4ac})$ $=a(x+\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x+\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})$ $=a(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})$ より， $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ついでに，xの方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は a≠0 のとき2次方程式で， $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ a=0， b≠0 のとき1次方程式で， $x=\frac{-c}{b}$ a=0， b=0， c≠0 のとき「不能」 a=0， b=0， c=0 のとき「不定」 さて，「口をすっぱくしたいところ」が，「０で割る計算は定義できない．」