わかった！

7で割って，4余る $a$ と，5余る $b$ について。

$a+b$ を 7 で割った余りを求めよ。

商と余りの関係

XをYで割った商Q，余りR ならば，X=YQ+R

に当てはめようにも，

「商がわからないから，どうすればいいかわからない。」

仮に商を文字で表して・・・というのが数学の説明だけれど，生徒には抽象的で納得感がないと思っていた。

「商はなんでもいいよ。

じゃ，7で割って，商が100で4余る $a$ と，商が10000で5余る $b$ で式を立てると。」

$a=7×100+4=704$

$b=7×10000+5=70005$

を足すと

$a+b=70709$

「これを 7で割ると余りは何？」

「2」

「商はなんでもいいから，両方とも商が 0 ならどう？」

$a=7×0+4=4$

$b=7×0+5=5$

を足すと

$a+b=9$

「これを 7で割ると余りは何？」

「2」「すごい！わかった！」

と納得してくれた。

「余りだけ計算すればいいんだよ。」

文字を使えば

7で割って，商が$m$で4余る $a$ と，商が$n$で5余る $b$ で式を立てると。」

$a=7m+4$

$b=7n+5$

$a+b=7m+4+7n+5=7m+7m+7+2=7(m+n+1)+2$

より余りは2

と言えるのだが，上記の具体例ほどわかった感はないと思う。

数学的には合同式の話だけれど，知らぬ言葉はハードルが高いので言わない。