結論からさかのぼる

数学A では「証明」を書かせる．
以前も記事にした内容であるが．＞以前の記事「ラストシーンから作る」
いつも，口頭で説明しているけれど，今回はそれを
「証明のコツ」
ということでまとめた．

１．結論から考えよう．--- 結論が成り立つためには，どのような条件を用いるか．
２．条件から言えることを並べよう． --- その中から結論につながるものを探す．
３．つながったら，清書． --- 作文練習


証明の「解答例」つまり完成された証明を見ても，「なぜそんな証明を思いつくのか」という思いに駆られるだろう．証明を思いつく思考の過程としては，「結論から」考えているのである．
仮定から言える条件を列記しても，その中で結論につながるものを探すのは大変．しかし結論につながる条件を思い描きながら，仮定される条件を列記すると，証明が見つかるという寸法．

教科書にあった問題例．

例題

結論は「4点が同一円周上にある」．
それを言うためには，四角形が円に内接していることであり，その必要十分条件に，「対角の和が180度」と，「外角は，それと隣り合う内角の対角に等しい」というものがある．（他にも円周角とか方冪とかもあるが）
「対角の和が180度」をこの図で言えば，
∠P＋∠R＝180度
が結論にたどり着くための十分条件となる．

次に仮定から言える条件を見つける．

まずは，問題文に明示された仮定
∠RADだの∠BGT だのという表現はゴチャゴチャするから，角の大きさは小文字の変数で表す．すなわち ∠A，∠B，∠C，∠D の半分の大きさを a，b，c，d とすると，∠A＝2a，∠B＝2b，∠C＝2c，∠D＝2d で，∠RAD＝∠RAB＝a などが仮定の条件である．
さて，仮定に明示されていることから書けるのはこの程度．明示されていない暗黙の仮定も考えなければ結論につながらない．というより，そちらが証明の根幹になる場合が多い．ここで見落としがあると，「さっぱりわからん」となる．

暗黙の仮定の列挙
「角度」について一般の四角形について言えるのは「内角の総和が360度」くらい．
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360度
2a＋2b＋2c＋2d＝360度

四角形の中に三角形がある．これも特に条件のない三角形だから，「内角の総和が180度」程度である．
三角形RAD については ∠R＋a＋d＝180度
三角形PBC については ∠P＋b＋c＝180度

ここで，結論の左辺 ∠P＋∠R を計算する．
∠R＋a＋d＝180度　⇒ ∠R＝180度－(a＋d)
∠P＋b＋c＝180度　⇒ ∠P＝180度－(b＋c)
∠P＋∠R ＝ 180度－(a＋d)＋180度－(b＋c) ＝ 360度－(a＋b＋c＋d)
2a＋2b＋2c＋2d＝360度 から (a＋b＋c＋d)＝180度 を代入すると，結論につながる．

そして，このように「もがいて」見つけた論理の流れを「証明」という形にしなければならない．
論理の流れを見つけても，証明の形に直すのは新たな作業となる．
これは，自分の中でみつけた論理を整理し筋道立てて，順序良く論証するという，「作文」であるから，作文指導でもある．
新教育課程で謳われている「言語活動の充実」だ．

（証明）
∠A，∠B，∠C，∠D の大きさの半分をそれぞれ a，b，c，d とする．
（与えられていない文字変数を用いる時は，由来を宣言しなければならない．これは準備であるから，最初のもがく場面では必ずしも使っていないかもしれない．先頭に書いてあるが，後づけである．）
四角形ABCD の内角の和は360度であるから，（暗黙の条件：これも後で使う条件であるけれど，証明の構成上最初に書いて，記号＊を付しておく．）
2a＋2b＋2c＋2d＝360度
a＋b＋c＋d＝180度 ・・・＊
三角形RAD の内角の和は180度（暗黙の条件）であるから，∠R＋a＋d＝180度 から ∠R＝180度－(a＋d)．
同様に 三角形PBC について ∠P＝180度－(b＋c)．
ゆえに，
∠P＋∠R
＝ 180度－(a＋d)＋180度－(b＋c)
＝ 360度－(a＋b＋c＋d)
＊より，
∠P＋∠R
＝ 360度－180度
＝ 180度
よって，四角形 PQRS の 1組の対角の和が180度である．
ゆえに，4点 P，Q，R，S は同一円周上にある．（「これが証明されるべきものであった．」ラテン語でQuod Erat Demonstrandum 略して Q.E.D.）

条件を並べてもがいて，論理をつなげる作業では，いろいろな順序で条件が並ぶ．そしてそれらがつながればとりあえず，「解けた」ことにはなる．
しかし，それを，筋道立て順序良く並べる作業は「論理の構成」であるから，もう1段上の「段取り力」が必要となる．
思考の過程としては，「結論」から考えたことではあるが，それをそのまま文章化したら，証明にならない．証明は思考の過程を記述するのではないからだ．

クラスの人数が10名位なら全員に書かせて，添削もしたいところだが，40人では無理．せいぜい机の間をまわってアドバイスするくらい．
「生徒は答案が書けない」
と嘆くけれど，答案の書き方の指導などしていないのだから，当然である．「教科書や黒板の記述を真似ろ」と言ってオシマイ．
まぁ，机の間をまわって目についた生徒にアドバイスかな．

さて，
「∠P＋∠R＝180度」
を示すのは「等式の証明」である．
これも指導上いろいろな悩ましい．

つまり，
「a+b+c+d=180，r+a+d=180，p+b+c=180 のとき，p+r=180 を証明せよ．」
の書き方．（つづく）