不等式 絶対値 証明 |a-c|≦|a-b|+|b-c|

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「不等式 絶対値 証明 $|a-c| \leq |a-b|+|b-c|$」
で，「三角不等式」のページが検索された．＞過去の記事

そのページには証明が載っていないので，ここで証明．
直接照明するのは面倒なので，三角不等式を仮定する．

命題　$|a-c| \leq |a-b|+|b-c|$

証明
三角不等式 $|x+y|\leq|x|+|y|$において，$x=a-b$，$y=b-c$ とすれば，
$|(a-b)+(b-c)|\leq|a-b|+|b-c|$
である．ゆえに，
$|a-b + b-c|\leq|a-b|+|b-c|$
$|a-c|\leq|a-b|+|b-c|$