感覚とその言語化のはざま

慣れていない極限．
高校レベルの極限はとても感覚的である．

いわく「定数αに，限りなく近づく」とき，αを極限値という．
$\frac{1}{n}$は ＞0であるから決して ＝0 に届かないのに，
$\lim_{n\to0}\frac{1}{n}=0$
であることをわかってほしいところ．
昨日書いたように，数字を並べて納得してはもらう．

ところどころで，感覚だけでなく，言語化を意識させるようなことはしている．結局数学とは言語化のことだから．
「限りなく」を「いくらでも」にするだけで，だいぶ言語化に近づく．
そのひとつ「限りなく大きくなるとき，正の無限大に発散」の説明のところ．

それは，
「いくらでも大きくなるとき，正の無限大に発散」
なのだが，とすると，もう少し踏み込んで，
「数列が正の無限大に発散とは，数列の各項が，どんな正の数より大きくなること．」
と言語化する．
すると，すぐに納得してくれる．それを，
「すべての$M\gt0$ に対して，ある番号nがあって，それより大きな番号mでは，いつも，$a_m\gt M$」
と書く．

ついでに，これと同じ説明で，収束も
「数列が定数αに収束とは，数列の各項とαとの差が，どんな正の数より小さくなること．」
定式化も発散の書き換えで簡単．
「すべての$M\gt0$ に対して，ある番号nがあって，それより大きな番号mでは，いつも，$|a_m-\alpha|\lt\varepsilon$」
これを，いきなり書いたら，「？」だろうが，正の無限大と対比させることで，なんとなくわかった気になってもらえる．

進学校にいたときは，武藤徹先生のやりかたをまねしたことがあった．
「すべてのε＞0 |について，|x|＜ε」
のような変数 x を「無限小」と名付け，
「あるM＞0 |について，|x|＜M」
のような変数 x を「有界」と名付ける．
x-αが無限小のとき，x の極限値αと定義．
「有界×無限小=無限小」
「無限小×無限小=無限小」
を証明すると，それらから lim の線型性などが証明される．＞線型とは
lim x=α，lim y=β
lim kx=kα，lim(x+y)=α+β，
lim(xy)=αβ，lim(x/y)=α/β　（β≠0）
調子に乗って，最大値の定理や中間値の定理まで証明してしまった．

今の学校では，
「成り立ってほしいことが成り立ってうれしい」
で済ませてしまうが．