Napierネイピア数がらみ

$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$ を使った極限の問題．

h=1/n とすれば，n→∞のとき h→0 で，$\lim_{h\to0}\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}=e$ でもある．
（本当はこの置き換えは n→∞のとき h→+0，つまり h＞0 のときに限ったものだが，h→0 でも成り立つことは省略．）

符号を変えると
$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=\frac{1}{e}$ となる．
これは h=1/(-n) とおけば n=-1/h で，n→∞のとき h→0 より，
$\lim_{h\to0}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n = \lim_{h\to0}\left(1+h\right)^{-\frac{1}{h}} = \lim_{h\to0}\frac{1}{\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}} } = \frac{1}{\lim_{h\to0}\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}} }=\frac{1}{e}$
という感じである．

$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n=\frac{1}{e}$ も展開すれば，上と同じになるから，どうということはない．

$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{\sqrt{n}}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{n}}\right)^{4n}=e^{-\frac{5}{2}}$ くらいになると，l'Hospital の方法でやるくらいしか思いつかない．なんとか，上記のような式のいじくりまわしで出来ないものか．

いちおう，お手軽 l'Hospital の方法なら，次の通り．
$n=\frac{1}{h^2}$ で，n→∞のとき，h→0
$\left(1-\frac{2}{\sqrt{n}}\right)^n\left(1+\frac{1}{2\sqrt{n}}\right)^{4n} = (1-2h)^{\frac{1}{h^2}}\left(1+\frac{h}{2}\right)^{\frac{4}{h^2}}$


対数を取ると，
$\log(1-2h)^{\frac{1}{h^2}}\left(1+\frac{h}{2}\right)^{\frac{4}{h^2}} =\frac{1}{h^2}\log(1-2h)+\frac{4}{h^2}\log\left(1+\frac{h}{2}\right) =\frac{\log(1-2h)+4\log\left(1+\frac{h}{2}\right)}{h^2}$


h→0 のとき，$\log\left(1+\frac{h}{2}\right)\to0$，h^2→0 より，不定形の極限だからl'Hospital の方法が使える．

分子分母それぞれ h で微分する．
$(\log(1-2h))'=\frac{-2}{1-2h}$，$\left(4\log\left(1+\frac{h}{2}\right)\right)'=4\times\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{h}{2}}=\frac{4}{2+h}$，$(h^2)'=2h$
したがって，
$\lim_{h\to0}\frac{\log(1-2h)+4\log\left(1+\frac{h}{2}\right)}{h^2} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{-2}{1-2h}+\frac{4}{2+h}}{2h}$
右辺は，
$\frac{\frac{-2}{1-2h}+\frac{4}{2+h}}{2h}\\ =\frac{-1}{(1-2h)h}+\frac{2}{(2+h)h}\\ =\frac{-(2+h)+2(1-2h)}{(1-2h)(2+h)h}\\ =\frac{-5h}{(1-2h)(2+h)h}\\ =\frac{-5}{(1-2h)(2+h)}\\ \to\frac{-5}{(1-0)(2+0)}=\frac{-5}{2}$
から，
$\log(1-2h)^{\frac{1}{h^2}}\left(1+\frac{h}{2}\right)^{\frac{4}{h^2}}\to\frac{-5}{2}$
対数関数は連続だから，
$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{\sqrt{n}}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{n}}\right)^{4n}=e^{-\frac{5}{2}}$