既約多項式

午前中のイベントが終えたら，午後は毎日やっている進学補習だけど，せっかくだからイベントで扱ったユークリッドの互除法を教える．

で，高校3年生なのだからと，分数式の約分について触れた．

数学II では，
$\frac{x^2-2x-3}{x^2-9}=\frac{(x+1)(x-3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{x+1}{x+3}$
といったことを扱う．つまり約分は因数分解しなければならない．ユークリッドの互除法ならば因数分解せずに，割り算の余りが共通因数となる．
(x^2-2x-3) ÷ (x^2-9)
をおこなえば，
(x^2-2x-3) = (x^2-9)×1 + (-2x+6)
多項式は定数倍は無関係だから，余り -2x+6 = -2(x-3) より分母 x^2-9 を x-3 で割れば割り切れる．
したがって，これで分子も割り切れるというのが，互除法の原理．

多項式の因数を見つけるというのは至難の業で，数学IIの因数定理による因数分解も，「見つかる範囲の問題」しか扱わない．
それに対して，割り算の余りを求めるというのは，時間をかければ必ず出来る手順である．
たとえば，
$\frac{x^4+x^3+x^2+2 x-2}{x^6+2 x^5-x^3+x^2+x-1}$
は割り算
(x^6+2x^5-x^3+x^2+x-1) ÷ (x^4+x^3+x^2+2x-2)
(x^6+2x^5-x^3+x^2+x-1) = (x^4+x^3+x^2+2x-2)(x^2+x-2) + (-2x^3+3x^2+7x-5)
つづいて，
(x^4+x^3+x^2+2x-2) ÷ (2x^3-3x^2-7x+5)
をやると分数が出てきてしまうので，
4(x^4+x^3+x^2+2x-2) ÷ (2x^3-3x^2-7x+5)
(4x^4+4x^3+4x^2+8x-8) = (2x^3-3x^2-7x+5)(2x+5)+(33x^2+33x-33)
そして，33x^2+33x-33 = 33(x^2+x-1) より
(2x^3-3x^2-7x+5) ÷ (x^2+x-1)
(2x^3-3x^2-7x+5) = (x^2+x-1)(2x-5)
と割り切れるので，(x^2+x-1)　が最大公約数．そして，これで分母分子を割れば，既約となる．
(x^6+2x^5-x^3+x^2+x-1) ÷ (x^2+x-1) = x^4+x^3+1
(x^4+x^3+x^2+2x-2) ÷ (x^2+x-1) = x^2+2
より，
$\frac{x^4+x^3+x^2+2 x-2}{x^6+2 x^5-x^3+x^2+x-1}=\frac{x^2+2}{x^4+x^3+1}$
ここに出てくる3つの多項式，最大公約数x^2+x-1と，残りの既約なx^2+2，x^4+x^3+1 はどれも整数の因数を持たないから，数学IIの因数定理を使う因数分解はできない．
しかし，最大公約数を求めるのは，割り算の繰り返しで必ず求めることが出来，2つの多項式の既約多項式は必ず求められるのである．

本来の，ユークリッドの互除法では，割り算はあまり組織的には行なわず，もっとテキトーな感じである．
(x^2-2x-3，　x^2-9)　左から右を引く．
(-2x+6，　x^2-9)　左を-2 で割る．
(x-3，　x^2-9)　左を-2 で割る．
(x-3，　x^2-9)　左のx倍を右から引く．
(x-3，　3x-9)　左の3倍を右から引く．
(x-3，　0)　
より，分母分子は x-3 で割れる．

もうひとつも，
(x^6+2x^5-x^3+x^2+x-1，　x^4+x^3+x^2+2x-2)　左から，右の x^2 倍を引く．
(x^5-x^4-3 x^3+3 x^2+x-1，　x^4+x^3+x^2+2x-2)　左から，右の x 倍を引く．
(-2x^4-4 x^3+x^2+3 x-1，　x^4+x^3+x^2+2x-2)　左に，右の 2 倍を足す．
(-2 x^3+3 x^2+7 x-5，　x^4+x^3+x^2+2x-2)　右を2倍する．
(-2 x^3+3 x^2+7 x-5，　2x^4+2x^3+2x^2+4x-4)　右を2倍する．
(-2 x^3+3 x^2+7 x-5，　2x^4+2x^3+2x^2+4x-4)　左のx倍を右に足す．
(-2 x^3+3 x^2+7 x-5，　5 x^3+9 x^2-x-4)　左を5倍，右を2倍
(-10 x^3+15 x^2+35 x-25，　10 x^3+18 x^2-2x-8)　左を右に足す．
(-10 x^3+15 x^2+35 x-25，　33 x^2+33 x-33)　左を-5で割り，右を33で割る．
(2 x^3-3 x^2-7 x+5，　 x^2+ x-1)　右の -2x倍を左に足す.
(-5 x^2-5 x+5，　 x^2+ x-1)　左を -5 で割る．
(x^2+x-1，　 x^2+ x-1)
で最大公約元は x^2+x-1

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