コーシー・シュワルツの不等式

＞つづき

先日の三角不等式に出てきた，ベクトルのコーシー・シュワルツの不等式．
$(\vec{a}\cdot\vec{b})^2\le|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2$
ふつうはこれを成分表示したものをコーシー・シュワルツの不等式という．
$\vec{a}=(a_1, a_2)$，$\vec{b}=(b_1, b_2)$ならば，
$(a_1b_1+a_2b_2)^2\le(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$
ベクトルの教科書の章末問題に証明問題が出ていたりする．右辺-左辺で平方完成する．
$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2=(a_1b_2-a_2b_1)^2$
この計算は，複素数z=a+bi，w=c+di の絶対値の計算|zw|=|z||w|からも得られる．

等号成立は2つのベクトルが，平行であるか，少なくとも一方が 0 ベクトルのときである．
この等号成立条件を大学1年の数学では一言で，「1次従属」とか「線型従属」というが，自分は教科書にある「平行であるか，少なくとも一方が 0 ベクトル」という言い回しが面倒で，授業で教えて使うことがある．
同様に「平行でない0ベクトルでないベクトル」が1次独立（線型独立）

さて，高校の数学には空間のベクトルも出てくる．つまり3次元で，その場合も同様に成り立つ．
$(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2\le(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)$
成分の変数名に x, y, z を使うと，文字の数に限りがあるが，$a_1, a_2, a_3, \cdots$ とつけた理由は，変数をいくらでも増やせるからである．
つまり本来のコーシー・シュワルツの不等式は，n次元ベクトルの不等式
$(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\cdots+a_nb_n)^2\\ \le(a_1^2+a_2^2+a_3^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+\cdots+b_n^2)$
である．
もちろん証明は，平方完成．あるいはベクトルの三角不等式．
というより，図形に頼らない，式変形だけの平方完成から，三角不等式がn次元でも成立することがわかる．

あと，ベクトルの教科書の章末問題には，2次式の判別式による証明も出ているな．さらに，相加平均≧相乗平均 を使った証明もあるけれど，つまりは高校数学の不等式は最終的に
「コーシー・シュワルツの不等式」に集約されるという点で，この定理はエライのである．（笑

変数を並べて「・・・」で省略するのがいやなら，多くの人が苦しめられた「Σ」を使う式になる．
$\left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2\le\left(\sum_{j=1}^{n}a_j^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)$

大雑把に言うと，Σak/n のn→∞が極限が ak=f(xk) という関数の積分であるから，
$\left(\int f(x)g(x)dx\right)^2\le\int(f(x))^2dx\int(g(x))^2dx$
これもコーシー・シュワルツの不等式．
これは無限次元のベクトルの不等式ともいえる．これは数学IIIの章末問題に証明問題があったりするが，たぶん2次式の判別式の形に持ち込むのだと思う．（無限次元だから，成分の計算に持ち込めないｗ）

コーシー・シュワルツの不等式は，高校数学で使うとすれば，
（積の和）の2乗 と （2乗の和）の積
の大小を比べる場面では，「（積の和）の2乗 ≦（2乗の和）の積」を秒殺でいえる不等式という点で，「相加平均≧相乗平均」や三角不等式に匹敵するワザにはなりうる．というより，大学入試問題で，そこから作ったと思える問題は良く出て，ニヤリとする．

この不等式を統計の世界で言えば，
共分散の2乗≦標準偏差の2乗の積
だし，極限を取って（積分の形にして），正規化すれば確率論での不等式となる．

ベクトルでの
内積÷ノルム＝cos
の右辺の cos を統計の世界では「相関係数」と呼ぶ．（相関係数とはデータの数次元のベクトルのなす角のコサインなのだ）
ということで，現行の数Bの教科書には，ベクトルと，Σ（数列）と，統計（相関係数）が書かれているが，こいつらは，この不等式を介在してウラでつながっていたのである（笑


不等式は1冊の本になるくらい奥の深い世界である．＞不等式

そもそも，工学の世界ではピッタリ「＝」になることよりも，「・・・を超えない」のような不等式の方が重要だったりする．
数学IIまでは，ピッタリ求まる問題ばかり扱っていたのが，数IIIではそうではないものが入ってきて，「工学の数学」という雰囲気が出てきて，生徒が戸惑う場面が多い．

3次方程式の厳密解などを工学で使うことは絶対にないはずである．＞3次方程式の解の公式（一般解）