数える

数を普通に１，２，３，・・・と1秒に１つずつ数えたら，1時間で86400，1年で31536000，100年で3155760000までしか数えられない．

1分ですべての自然数を数える方法．

まず，1/2分 = 30秒 かけて，最初の数，「い～～～～～ち」と数える．
次に 1/4分 = 15秒 かけて，次の数，「に～～～い」と数える．
つづいて，1/8分 = 7.5秒 かけて，「さーーん」と数える．
1/16分 = 3.725秒 かけて，「４」と数える．
1/32分 = 1.6625秒 かけて，「5」と数える．
以下同様に，数字が増すごとに，数える時間を半分にしていくと，1分間ですべての自然数をいうことができる．
「最後のほうは，ちょっと早口になるけどね．」
「え～～～？？」

n まで数えるのにかかる時間（分）は，
Tn = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ・・・ + 1/2^n
で，
Tn=1-1/2^n ＜1
より，n→∞ なら，1/2^n→0 より，Tn→1 だから．


ところが，
Hn = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ・・・ + 1/n
は∞に発散する．（調和数列の和は発散する．）
Hn ＞ log n
であることは，数III の教科書の練習問題になっている．

絵より，1 + 1/2 + 1/3 が，1≦x≦3 の 1/x のグラフより上にある．
1≦x≦3 の 1/x の面積は
　∫1/x dx = log 3
なので，
　1 + 1/2 + 1/3 ＞ log 3
つまり，
　Hn ＞ log n
log n は無限に大きくなる関数だから，それより大きなHnは発散．