x^x^x の微分

まずは，
$y=x^x$
の微分．両辺の自然対数を取って，
　$\log y=\log x^x \\ =x\log x$
両辺を微分．
$y=\frac{y'}{y}=1\log x+x\frac{1}{x} = \log x + 1$
$y'=y(\log x + 1)=x^x(\log x + 1)$

同様に，
$y=x^{x^x}$
の両辺の自然対数を取って，
$=x^x\log x$
両辺を微分．
$\frac{y'}{y}=(x^x)'\log x + x^x(\log x)' \\ =x^x(\log x +1) \log x + x^x \cdot \frac{1}{x}\\ =x^x(\log x +1)\log x + x^{x-1}$
よって，
$y'=y(x^x(\log x +1)\log x + x^{x-1})\\ =x^{x^x}(x^x(\log x +1)\log x + x^{x-1})$

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