1/cos x の積分

基礎的な問題・・・なのだけれどちょっと気になること．
$\int\frac{1}{\cos x}dx \\ =\int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx \\ =\int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} dx$
ここで $t=\sin x$ とおけば，$dt=\cos x \,dx$ より，
　　$\int \frac{1}{1-t^2} dt$

ここで，　$\frac{1}{1-t^2}$ を部分分数分解．
$\frac{1}{1-t^2} =\frac{1}{(1+t)(1-t)} = \frac{a}{1+t}+\frac{b}{1-t}$
を満たす $a,\ b$ を求める．両辺の分母をはらって，
$\frac{(1+t)(1-t)}{(1+t)(1-t)} = \frac{a(1+t)(1-t)}{1+t}+\frac{b(1+t)(1-t)}{1-t}$
$1 = a(1-t)+b(1+t) = a-at+b+bt \\ =(-a+b)t+(a+b)$
係数比較で，
$-a+b=0,\ a+b=1$
この連立方程式を解くと，
$\frac{1}{2},\ b=\frac{1}{2}$
よって，
$\frac{1}{1-t^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)$
より
$\int \frac{1}{1-t^2}dt = \frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt \\ =\frac{1}{2}\left(\log(1+t)-\log(1-t)\right) \\ =\frac{1}{2}\log\frac{1+t}{1-t} \\ =\frac{1}{2}\log\frac{1+\sin x}{1-\sin x}$
これが答えでいいのだが．

Mathematica にやらせると，
$2\rm{arctanh}(\tan\frac{x}{2}$
という答えを返す．＞Wolfram Mathematica Online Integrator
arctanh は双曲三角の逆関数である．気になったので，同じになるまで変形してみる．
以前書いた記事のとおり，
$\rm{arctanh}(x)=\frac{1}{2}\log\frac{1+x}{1-x}$
なので，
$\frac{1}{2}\log\frac{1+\sin x}{1-\sin x} = \rm{arctanh}\frac{1+\sin x}{1-\sin x}$
にはすぐになる．ということは，
$\frac{1+\sin x}{1-\sin x}$
が
$\tan\frac{x}{2}$
で表せるということなのだろう．実際次のように変形できる．
$\frac{1+\sin x}{1-\sin x} \\ = \frac{(1+\sin x)(1+\sin x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)} \\ = \frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x} \\ = \frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x} \\ = \left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)^2$
ここで，倍角公式
$\sin2x=2\sin x\cos x,\ \cos2x=\cos^2 x-\sin^2 x$ より，
$2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2},\ \cos x=\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}$
を用いて，
$\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)^2 \\ = \left(\frac{1+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}}\right)^2 \\ = \left(\frac{\left(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\right)+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}}\right)^2 \\ = \left(\frac{\cos^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}}\right)^2 \\ = \left( \frac{\left(\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\right)^2}{\left(\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\right)\left(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)}\right)^2 \\ = \left( \frac{\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}}\right)^2 \\ = \left( \frac{\frac{\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}}{\frac{\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}}\right)^2 \\ = \left( \frac{1+\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}}{1-\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}}\right)^2 \\ = \left(\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}} \right)^2$
したがって，
$\frac{1}{2}\log\frac{1+\sin x}{1-\sin x} \\ = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}} \right)^2 \\ =2\cdot\frac{1}{2}\log\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}} \\ =2\rm{arctanh}\left(\tan\frac{x}{2}\right)$
となる．つまり
$\int\frac{1}{\cos x}dx = \frac{1}{2}\log\frac{1+\sin x}{1-\sin x} = 2\rm{arctanh}\left(\tan\frac{x}{2}\right)$

＞積分の記事