ハミルトン・ケーリー

先週，自習監督を依頼されたが，数学の授業は大好きなので，
「授業やっていいっすか？」
で，授業．行列，ハミルトン・ケーリーの定理のところである．

説明や演習をした後，この定理の威力とか，行列が工学の分野にどんな使われ方をするかなど，雑談．
人の授業を借りて，自分の数学雑談ができる自習監督は大好き．

さらにこれをプリントにしたものを配布．
マニアックな生徒向けの雑談．

教科書の定理の証明は，単なる計算問題レベルで，n=2のハミルトン・ケーリーは教科書や配布プリントの通りだけど，n=3のハミルトン・ケーリーを見せた．「見せるだけ」ってのも結構すき．

$\quad \Phi(\lambda) = \det(\lambda E-A)$
より，n=3 なら，
$\Phi(\lambda) = \left|\lambda\left(\matrix{1&0&0 \cr 0&1&0 \cr 0&0&1}\right) -\left(\matrix{a&b&c \cr d&e&f \cr g&h&i}\right)\right| = \left|\matrix{\lambda-a & -b& -c \cr -d & \lambda-e & -f \cr -g & -h & \lambda-i}\right|$

$= \lambda^3-(a+e+l)\lambda^2+(a e-b d +a i-c g +e i-f h)\lambda \\ \hspace{10mm} -(a e i+b f g+c d h-c e g-b d i-a f h)$

よって，ハミルトンケーリーの定理は，
$\Phi(A) = A^3-(a+e+l)A^2+(a e-b d +a i-c g +e i-f h)A \\ \hspace{10mm} -(a e i+b f g+c d h-c e g-b d i-a f h)E=O$

行列式の形で書けば，
$A^3-(a+e+i)A^2+\left(\left|\matrix{a&b \cr d&e}\right| +\left|\matrix{a&c \cr g&i}\right| + \left|\matrix{e&f \cr h&i}\right|\right)A-\left|\matrix{a&b&c \cr d&e&f \cr g&h&i}\right|E=O$

さらに，n=4 ならハミルトン・ケーリーの定理は，$A=(a_{ij})$として，
$A^4-(a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44})A^3 \\ \hspace{5mm} +\left(\left|\matrix{a_{11}&a_{12} \cr a_{21}&a_{22}}\right| + \left|\matrix{a_{11}&a_{13} \cr a_{31}&a_{33}}\right| + \left|\matrix{a_{11}&a_{14} \cr a_{41}&a_{44}}\right|\right. \\ \hspace{10mm} \left. + \left|\matrix{a_{22}&a_{23} \cr a_{32}&a_{33}}\right| + \left|\matrix{a_{22}&a_{24} \cr a_{42}&a_{44}}\right| + \left|\matrix{a_{33}&a_{34} \cr a_{43}&a_{44}}\right|\right)A^2 \\ \hspace{5mm} -\left(\left|\matrix{a_{11}&a_{12}&a_{13} \cr a_{21}&a_{22}&a_{23} \cr a_{31}&a_{32}&a_{33}}\right| + \left|\matrix{a_{11}&a_{12}&a_{14} \cr a_{21}&a_{22}&a_{24} \cr a_{41}&a_{42}&a_{44}}\right|\right. \\ \hspace{10mm} \left. + \left|\matrix{a_{11}&a_{13}&a_{14} \cr a_{31}&a_{33}&a_{34} \cr a_{41}&a_{43}&a_{44}}\right| + \left|\matrix{a_{22}&a_{23}&a_{24} \cr a_{32}&a_{33}&a_{34} \cr a_{42}&a_{43}&a_{44}}\right|\right)A \\ \hspace{5mm} + \left|\matrix{a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14} \cr a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \cr a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34} \cr a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}}\right|E \\ =O$

これだけ書けば，規則性も見えるというもの．でも，その規則性を

Aをn次正方行列,$\quad \Phi(\lambda) = \det(\lambda E-A)$をその固有多項式とするとき$\Phi(A) = O$

と表現するのが数学


＞追記「関孝和」
s