相加平均と相乗平均

$a\gt0$，$b\gt0$のとき
$a,\, b$ の平均 $\frac{a+b}{2}$ を相加平均といい，それは相乗平均
$\sqrt{ab}$以上である．
つまり
$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$

これで話が終われば，教科書どおりである．
相加平均は算術平均といい，いわゆるだれでも「平均」といえばこの計算をする．

相乗平均は幾何平均といい，倍率の平均といえる．
0.6gの虫と6000kg の象の体重の平均は約3000kgで虫の重さは誤差の範囲である．
ここで幾何平均
$\sqrt{6000\times 0.0006}=1.89737$
1.89737kg
子猫くらいの大きさ．
これは虫から見た子猫と，子猫から見た像の大きさの比率がどちらも3162.28倍で同じように見えることを意味している．
虫から見たら6トンの象も，3トンのカバも同じようにでかく見えるはずである．

もうひとつ「調和平均」という名の平均がある．
逆数の平均とも言える平均である．

4kmの道のり，行きは1時間で時速4km
帰りは30分＝0.5時間で時速8km
のとき，平均時速は算術平均ではない．
往復8kmの道のりに対して，1.5時間しかかかっていないので，
8÷1.5＝5.333
平均時速5.3km
これが調和平均である．

時速4の逆数0.25
時速8の逆数 0.125
逆数の算術平均は　0.1875
この逆数が5.333．
逆数の算術平均を取って，その逆数が調和平均である．

なぜ「調和」というか．
弦の長さが調和平均のとき，その逆数の振動数が算術平均になり，「音がよく調和する」からだろう．