本日の計算 y=2 arccos(√(x+1)/√2)の微分

コメントで質問されたので，計算ｗ＞以前の記事

$y=2\arccos\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}}$
$\frac{y}{2}=\arccos\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}}$
$\cos\frac{y}{2}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}}$
両辺を x で微分

左辺は
$\frac{d}{dx}(\cos\frac{y}{2})=-\sin(\frac{y}{2})\frac{d}{dx}(\frac{y}{2})=-\sin(\frac{y}{2})\times\frac{1}{2}\times{y'}\\=-\sqrt{1-\cos^2(\frac{y}{2})}\times\frac{1}{2}\times y%27\\=-\sqrt{1-(\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}})^2}\times\frac{1}{2}\times y%27\\=-\sqrt{1-\frac{x+1}{2}}\times\frac{1}{2}\times y%27\\=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-x}{2}}\times y%27$

右辺は
$(\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}})'=(\frac{1}{\sqrt{2}}(x+1)^{\frac{1}{2}})'\\=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}\sqrt{x+1}}$

したがって，
$\frac{1}{2\sqrt{2}\sqrt{x+1}}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-x}{2}}\times y%27$
$\frac{1}{\sqrt{x+1}}=-\sqrt{1-x}\times y%27$
$y%27=-\frac{1}{\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

一方，
$y=\arccos x$
の微分は，
$\cos y=x$
の両辺を微分して，
$-\sin y\times y%27=1$
$y%27=-\frac{1}{\sin y}=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2y}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

これは，
$y=2\arccos\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}}$
の微分と同じである．

実際，
$y=2\arccos\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}}$
から，
$\cos\frac{y}{2}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}}$
両辺2乗
$\cos^2\frac{y}{2}=\frac{x+1}{2}$
半角公式により
$\frac{1+\cos y}{2}=\frac{x+1}{2}$
$\cos y=x$
$y=\arccos x$

つまり，元々，
$2\arccos\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}}=\arccos x$
は恒等式である．