本日の無酸素計算

$\lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=1$のときの a，b

x→1 ならば，x-1→0 より，a√x+b →a√1+b=a+b=0，b=-a

$\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}\\
=\frac{a\sqrt{x}-a}{x-1}\\
=\frac{a(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}^2-1}\\
=\frac{a(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\\
=\frac{a}{\sqrt{x}+1}\\
\to \frac{a}{\sqrt{1}+1}=1\\
a=2
$

2.
$\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2-2x+8}-(ax+b))=0$ のときの a，b

$\sqrt{x^2-2x+8}-(ax+b)\\
=\frac{(\sqrt{x^2-2x+8}-(ax+b))(\sqrt{x^2-2x+8}+(ax+b))}{\sqrt{x^2-2x+8}+(ax+b)}\\
=\frac{x^2-2x+8-(ax+b)^2}{\sqrt{x^2-2x+8}+(ax+b)}\\
=\frac{(1-a^2)x^2-2(1+ab)x+8-b^2}{\sqrt{x^2-2x+8}+(ax+b)}\\
=\frac{(1-a^2)x-2(1+ab)+\frac{8-b^2}{x}}{\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{8}{x^2}}+(a+\frac{b}{x})}\\
\to\frac{(1-a^2)x-2(1+ab)+0}{\sqrt{1-0+0}+(a+0)}\\
=\frac{(1-a^2)x-2(1+ab)+0}{1+a}=0$
より，
1-a^2=0，a=±1．
a=-1 のとき，分母が0 となり適さない．
a=1 のとき，
$\frac{(1-a^2)x-2(1+ab)+\frac{8-b^2}{x}}{\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{8}{x^2}}+(a+\frac{b}{x})}\\
=\frac{-2(1+b)+\frac{8-b^2}{x}}{\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{8}{x^2}}+(1+\frac{b}{x})}\\
\to \frac{-2(1+b)+0}{\sqrt{1-0+0}+(1+0)}\\
=\frac{-2(1+b)+0}{2}=0
$
b=-1