微分か判別式か

数学の試験監督で，暇つぶしに解答．
2年生の微分のテスト．
「放物線 $(2,\ 1)$ から引いた接線を求めよ．」
という問題．
微分のテストなので，解答は次の通り．

（解1）
接点を $(a,\ a^2+3a)$ とすると，$y'=2x+3$ より，接線の傾き $2a+3$ であるから接線は
$y-(a^2+3a)=(2a+3)(x-a)$
これが点(2, 1) を通るから
$1-(a^2+3a)=(2a+3)(2-a)$
$a^2-4a-5=0$
$(a+1)(a-5)=0$
$a=-1,\ a=5$
$a=-1$ のとき接点 $(-1,\ -2)$，傾き 1 より 接線は
$y-(-2)=(x-(-1))$
$y=x-1$
$a=5$ のとき接点 (5, 40)，傾き 13 より 接線は
$y-40=13(x-5)$
$y=13x-25$

でも，数字がでかくて途中でどうも暗算では面倒になり，共有点の判別式に形で解いてみた．

（解2）
(2, 1)を通り傾き $m$ の直線は
$y-1=m(x-2)$
これと，放物線 $y=x^2+3x$ との共有点の $x$ 座標は
$(x^2+3x)-1=m(x-2)$
$x^2+(3-m)x+2m-1=0$
の解で，共有点が接線のときは重解になるから判別式が 0．
$(3-m)^2-4(2m-1)=0$
$m^2-14m+13=0$
$(m-1)(m-13)=0$
$m=1,\ m=13$
$m=1$ のとき接線は
$y-1=1(x-2)$
$y=x-1$
$m=13$ のとき接線は
$y-1=13(x-2)$
$y=13x-25$

書いてみると，あんまりかわらないな．暗算だと判別式の方が楽なような気がしたけれど．