ルーローの多角形の面積

Wikipedea より

ルーローの三角形（ルーローのさんかっけい、Reuleaux triangle）は、正三角形の各辺を膨らませたような形をした定幅図形である。フランツ・ルーローが開発したことからこの名がついた。

正三角形をちょっと膨らませた形で，ロータリーエンジンに使われていることで有名．
膨らみの大きさは，正三角形のひとつの頂点を中心に，辺の長さの半径の円を描いたもの．

で，この面積．
膨らみ部分は，正三角形OABについて，頂点Oから半径OA=aで円を描けば
扇形OAB-三角形OAB
で，正三角形の3つの辺それぞれに膨らみがくっついているから，求める面積は，
(扇形OAB-三角形OAB)×3+三角形OAB
である．
∠AOB=π/3 より三角形OABの面積は
$\frac{1}{2}a^2\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
一方，扇形OABの面積は
$\frac{1}{2}a^2\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}a^2$
よって，ルーローの三角形の面積は，
$3\left(\frac{\pi}{6}a^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\right)+\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{1}{2}(\pi-\sqrt{3})a^2$
ルーローの三角形は定幅aが正三角形の辺の長さと同じなので，計算がやさしい．

ルーローの五角形の場合．
頂点をABCDEとすると，膨らみ部分は，ひとつの頂点Aに対しては，AC=AD を半径とした円となる．このAD=AC が「定幅」となるので，AB=AC=a とする．

正五角形ABCDE の面積を求めるため，外接円の中心をO とすると，外接円の弧CDの中心角∠COD=2π/5より，その円周角∠CAD=π/5
正五角形は三角形OCDが5個集まったものなので，それを定幅aで表すため，三角形OACを利用して，定幅a=AC と外接円の半径r=OAの関係を導く．
∠OAC=∠DAC÷2=π/10
OからACに下ろした垂線の足をHとすれば，AH=a/2 より
$r\cos\frac{\pi}{10}=\frac{a}{2}$
$r=\frac{a}{2\cos\frac{\pi}{10}}$
よって，正五角形の面積は三角形OCDが5個だから，その面積は
$5\cdot\frac{1}{2}\textrm{OC}\cdot\textrm{OD}\sin\frac{2\pi}{5}$
$=\frac{5}{2}r^2\sin\frac{2\pi}{5}$
$=\frac{5}{2}\left(\frac{a}{2\cos\frac{\pi}{10}}\right)^2\sin\frac{2\pi}{5}$
$=\frac{5}{8}a^2\frac{\sin\frac{2\pi}{5}}{\left(\cos\frac{\pi}{10}\right)^2}$

辺の膨らみのひとつは，頂点Aを中心とした半径AC=a の扇形ACDから三角形ACDを引けばよい．
扇形ACDは，∠CAD=π/5より
$\frac{1}{2}a^2\frac{\pi}{5}$
三角形ACDは
$\frac{1}{2}a^2\sin\frac{\pi}{5}$
より，膨らみのひとつは
$\frac{1}{2}a^2\frac{\pi}{5}- \frac{1}{2}a^2\sin\frac{\pi}{5}$
$=\frac{\pi}{10}a^2 - \frac{1}{2}a^2\sin\frac{\pi}{5}$
これを5個集めると膨らみの全体の面積
$\frac{5\pi}{10}a^2 - \frac{5}{2}a^2\sin\frac{\pi}{5}$
$=\frac{\pi}{2}a^2 - \frac{5}{2}a^2\sin\frac{\pi}{5}$

膨らみと正五角形の和がルーローの五角形の面積
$\frac{\pi}{2}a^2 - \frac{5}{2}a^2\sin\frac{\pi}{5} + \frac{5}{8}a^2\frac{\sin\frac{2\pi}{5}}{\left(\cos\frac{\pi}{10}\right)^2}$

同様の議論をルーローのn角形（nは奇数）に適用すると，面積は
$\frac{\pi}{2}a^2 - \frac{n}{2}a^2\sin\frac{\pi}{n} + \frac{n}{8}a^2\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\left(\cos\frac{\pi}{2n}\right)^2}$
$=\frac{1}{2}a^2\left(\pi - n\sin\frac{\pi}{n} +\frac{1}{4}n\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\left(\cos\frac{\pi}{2n}\right)^2}\right)$
$=\frac{1}{2}a^2\left(\pi - n\left(\sin\frac{\pi}{n} -\frac{1}{4}\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\left(\cos\frac{\pi}{2n}\right)^2}\right)\right)$
ここで，
$\sin\frac{\pi}{n} -\frac{1}{4}\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\left(\cos\frac{\pi}{2n}\right)^2}$
$=\sin\frac{\pi}{n} -\frac{1}{4}\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\left(\frac{1+\cos\frac{\pi}{n}}{2}\right)}$　　（cos の半角公式）
$=\sin\frac{\pi}{n} -\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{1+\cos\frac{\pi}{n}}$　　（約分）
$=\sin\frac{\pi}{n} -\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}\left(1-\cos\frac{\pi}{n}\right)}{\left(1+\cos\frac{\pi}{n}\right)\left(1-\cos\frac{\pi}{n}\right)}$　　（分母分子に 1-cos をかける）
$=\sin\frac{\pi}{n} -\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}\left(1-\cos\frac{\pi}{n}\right)}{1-\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2}$　　（分母を展開）
$=\sin\frac{\pi}{n} -\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}\left(1-\cos\frac{\pi}{n}\right)}{\left(\sin\frac{\pi}{n}\right)^2}$　　（1-cos^2=sin^2 より）
$=\sin\frac{\pi}{n} -\frac{1}{2}\cdot\frac{2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n}\left(1-\cos\frac{\pi}{n}\right)}{\left(\sin\frac{\pi}{n}\right)^2}$　　（倍角公式sin2t=2sint cost）
$=\sin\frac{\pi}{n} -\frac{\cos\frac{\pi}{n}\left(1-\cos\frac{\pi}{n}\right)}{\sin\frac{\pi}{n}}$　　（約分）
$=\frac{\left(\sin\frac{\pi}{n}\right)^2-\cos\frac{\pi}{n}\left(1-\cos\frac{\pi}{n}\right)}{\sin\frac{\pi}{n}}$　　（通分）
$=\frac{\left(\sin\frac{\pi}{n}\right)^2-\cos\frac{\pi}{n}+\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2}{\sin\frac{\pi}{n}}$　　（分子を展開）
$=\frac{1-\cos\frac{\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}}$　　（sin^2+cos^2=1）
$=\tan\frac{\pi}{2n}$　　（tan の半角公式・・・参考★）

ゆえにルーローのn角形の面積は，
$\frac{\pi}{2}a^2 - \frac{n}{2}a^2\sin\frac{\pi}{n} + \frac{n}{8}a^2\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\left(\cos\frac{\pi}{2n}\right)^2}$
$=\frac{1}{2}a^2\left(\pi - n\left(\sin\frac{\pi}{n} -\frac{1}{4}\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\left(\cos\frac{\pi}{2n}\right)^2}\right)\right)$
$=\frac{1}{2}a^2\left(\pi - n\tan\frac{\pi}{2n}\right)$
結構簡単な式に整理されて，感動的ではある．
ということは，もっと簡潔に求まる可能性はあるな．tan の図形的意味を考えれば思いつきそう．

参考★
$\frac{1-\cos2x}{\sin2x}$
$=\frac{1-(\cos^2 - \sin^2)}{2\sin\cos}$
$=\frac{1-\cos^2+ \sin^2}{2\sin\cos}$
$=\frac{\sin^2+ \sin^2}{2\sin\cos}$
$=\frac{2\sin^2}{2\sin\cos}$
$=\frac{\sin}{\cos}$
$=\tan x$

ちなみに，n→∞のときの極限は，
$n\tan\frac{\pi}{2n}$
$=n\frac{\sin\frac{\pi}{2n}}{\cos\frac{\pi}{2n}}$
$=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{2n}{\pi}\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{2n}}{\cos\frac{\pi}{2n}}$
$\theta=\frac{\pi}{2n}$ とおけば，$n\to\infty$のとき，$\theta\to 0$ で，
$=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sin\theta}{\theta}\cdot\frac{1}{\cos\theta}$
$\to \frac{\pi}{2}\cdot 1\cdot\frac{1}{1}=\frac{\pi}{2}$
したがって，ルーローの多角形の面積の極限は，
$\frac{1}{2}a^2\left(\pi - n\tan\frac{\pi}{2n}\right)$
$\to\frac{1}{2}a^2\left(\pi - \frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi a^2}{4}$
これは直径aの円の面積なので当然の結末．