積分 (x^3+1)/(x^3-1)

で検索されたが，違うページ．なので解いてみた．
分数式は必ず積分できるので，これもたやすい．

まずは，分数式 $\frac{x^3+1}{x^3-1}$ を部分分数に分解する．

(x^3+1)÷(x^3-1) の商1，余り2なので，
$\frac{x^3+1}{x^3-1}=1+\frac{2}{x^3-1}$

したがって，
$\int\frac{x^3+1}{x^3-1}dx=\int 1dx+\int\frac{2}{x^3-1}dx=x+\int\frac{2}{x^3-1}dx$
後半部分の積分は，以前書いた通りなので，
$\int\frac{x^3+1}{x^3-1}dx=x+\int\frac{2}{x^3-1}dx \\=x+\frac{2}{3}\log|x-1| - \frac{1}{3}\log(x^2+x+1) -\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan{\frac{2x+1}{\sqrt{3}}}$

＞＞積分の記事