直線は幅のない長さである

このタイトルは，ユークリッドの原論にある，「直線の定義」である．

ベクトルの授業の最初に
　「ベクトルの和を描け」
というのがある．升目の中にいくつか矢印があり，それをベクトルとみなして，和のベクトルを表す矢印を描くというものである．

「先生！テストでは直線じゃないとまずいですか？」
という質問．たぶん『まっすぐじゃないとまずいか』という気持ちで聞いたのだろうけど，それを承知で
「え？　円とか放物線で矢印を描くの？」
なんて聞き返す．
「そうじゃなくて，定規を使わないで，ちょっとくらい曲がってもいいですか？」
「ぜんぜん平気．そもそも，真の直線は描けない．直線には幅はないんだよ．」
「えー，幅がないなら描けないのでは？」
「う ん，筆記具では描けない．筆記具で書いたら，太さがあるから，線ではなく面になるよね．もし描くなら，カッターナイフで紙に切れ込みを入れ，その切り口な ら幅がないから直線かなぁ・・・あ．それが曲がっていない保証はないな．みんなの持っている定規を無限につないだら，本当にまっすぐかなぁ．半径10mく らいの円周でも，10cmくらいの長さならまっすぐに見えるよ．きっと．」

つまり，半径10mの扇形の弧と，弧に対応する弦との間の距離が，定規のふくらみであるから，定規の長さ＝弧の長さ0.1m のときのふくらみを計算してみる．
扇形の中心Oと弦の中点Mを結ぶ直線と，弧との交点Pに対し，MPが，直線からの円周のふくらみである．
　MP＝半径－OM
扇形の半径r，中心角θならOM＝r cos(θ/2) なので，
　MP＝r－r cos(θ/2)
ここで，半径r＝10m，弧 rθ ＝ 0.1m とすれば，
　θ ＝ 0.01，
　θ/2 ＝ 0.005
　MP＝10－10 cos(0.005)＝0.00012499974
だから，半径10mの円の10cmの弧は，直線より0.12499974mm ふくらんでいる．目で見てはわからんな．

「本当に正確な直線なんか描けないのだから，少しぐらい曲がってても大目に見るよ．」
はからずも，数学が「概念」である説明につながった．数学は概念を表現する，人間の作り出した抽象的な言語である．