x^12+64の因数分解

$x^{12}+64=(x^4)^3+4^3$
と考えると
$=(x^4+4)(x^8+4x^4+16)$

$x^4+4$は複2次式の計算で
$=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$
となるので，
$x^{12}+64=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)(x^8+4x^4+16)$

ところが，先に複2次式の計算をすると，
$x^{12}+64=(x^6)^2+8^2$
$=(x^6)^2+16x^6+8^2-16x^6=(x^6+8)^2-(4x^3)^2$
$=(x^6+4x+8)(x^6-4x+8)$

最初の答えとあわない．
まぁこれは単純なこと，
$(x^6+4x^3+8)(x^6-4x^3+8)$
の中に2つの因数
$(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$
があるはずである．
多項式の割り算は易しいので，実際に割り算を実行すると
$(x^6+4x^3+8)\div(x^2-2x+2)=x^4+2x^3+2x^2+4x+4$
$(x^6-4x^3+8)\div(x^2+2x+2)=x^4-2x^3+2x^2-4x+4$

このことから初めにあきらめた因数分解は
$(x^8+4x^4+16)=(x^4-2x^3+2x^2-4x+4)(x^4+2x^3+2x^2+4x+4)$
となることがわかる．

ということで，有理数の範囲の因数分解は
$(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)(x^4+2x^3+2x^2+4x+4)(x^4-2x^3+2x^2-4x+4)$