$x^{14}+x^{7}+1$の因数分解

本日の計算

$x^{14}+x^{7}+1$の因数分解

$x^{7}=a$と置くと，$x^{14}+x^{7}+1=a^2+a+1$

$a^2+a+1$ は1の原始3乗根，つまり

　$(a-1)(a^2+a+1)=a^3-1$

となるので，$a=x^{7}$ に戻せば，

$(x^{7}-1)(x^{14}+x^{7}+1)=x^{21}-1$

と，1の21乗根の式となる。

21の約数は1, 3, 7, 21 より，
$x^{21}-1$ は

　　$x^{1}-1$, $x^{3}-1$, $x^{7}-1$, $x^{21}-1$

の原始累乗根を含む。

原始3乗根，原始7乗根は

　$x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)$,

　$x^{7}-1=(x-1)(x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)$

より，$x^{21}-1$ はこれらを因数に含む。

　　$x^{21}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)(x^{12}+\cdots)$ 

さて，

　$(x^{7}-1)(x^{14}+x^{7}+1)=x^{21}-1$

より，

$x^{14}+x^{7}+1$ は 21乗根$x^{21}-1$ を7乗根$x^{7}-1$で割ったものだから，

$x^{14}+x^{7}+1$ は原始7乗根を含まないが，原始3乗根は含む。

つまり，原始3乗根$x^{2}+x+1$ で割り切れる。

$x^{14}+x^{7}+1=(x^{2}+x+1)(x^{12}+\cdots)$と因数分解ができる。割り算をすると，

よって，

$x^{14}+x^{7}+1$

$=(x^{2}+x+1)(x^{12} −x^{11} +x^{9} −x^{8} +x^{6} −x^{4} +x^{3} −x +1)$

そして，これの12次式が原始21乗根でもある。

原始21乗根はもともと

\[\frac{(x^{21}-1)(x-1)}{(x^{7}-1)(x^{3}-1)}=\frac{x^{22}-x^{21}-x+1}{x^{10}-x^{7}-x^{3}+1}\]

で計算できる。＞メビウスの反転公式

それにしても

　\izyohou{1,-1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-1,1}{1,,,-1,,,,-1,,,1}

と書くだけで割り算を計算し，縦書割算のすべての行を出力するスタイルファイル emathW.sty の威力がすごい。

手計算だと，計算違いで何度もやり直すことになる。割り切れることが分かっているから，割り切れずに間違いとわかる。

はじめはブログに載せるにあたって，縦書割り算の1行1行をMathematica で計算して

これを，縦書割り算に1行ずつ写すつもりだった。

1行ずつ写すにしても，項の間のスキマをあけたり無茶苦茶面倒な作業を覚悟した。

それが，スタイルファイルで一発で片付いた。

$x^{14}+x^{7}+1$の因数分解は数学検定に出た問題のようだ。

それが，

「$x^{14}+x^{7}+1$を実数の範囲で因数分解せよ。」

と出題されたようで，YouTube で突っ込まれていた。

有理数の範囲での因数分解は上記の通りだが，

「実数範囲だと原始21乗根の12次式が6個の2次式に因数分解できるよ。」

という突っ込みである。

$x^{14}+x^{7}+1$

$=(x^{2}+x+1)(x^{12} −x^{11} +x^{9} −x^{8} +x^{6} −x^{4} +x^{3} −x +1)$

$=(x^{2}+x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times1)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times2)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times4)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times5)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times8)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times10)x+1)$

もともと，C.F.ガウスの「代数学基本定理」（n次方程式は高々n個の複素数解を持つ）は，虚数が世間一般に浸透していなかったころ，

「n次式は，必ず1次式と2次式の積に因数分解される」

という上記の形で発表された。

虚数解になる因数は2次式になるから虚数を出さずに表現できる。

$x^{21}-1$ の因数分解は，

有理数の範囲

$x^{21}-1$

$=(x^{1}-1)(x^3+x+1)(x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)$

　$(x^{12} −x^{11} +x^{9} −x^{8} +x^{6} −x^{4} +x^{3} −x +1)$

実数の範囲

$x^{21}-1$

$=(x^{1}-1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times1)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times2)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times3)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times4)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times5)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times6)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times7)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times8)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times9)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times10)x+1)$

$=(x^{1}-1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times1)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times2)x+1)$

　$(x^2+x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times4)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times5)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times6)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times7)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times8)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times9)x+1)$

　$(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times10)x+1)$

複素数の範囲

$x^{21}-1$

$=(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times0)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times0))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times1)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times1))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times1)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times1))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times2)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times2))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times2)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times2))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times3)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times3))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times3)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times3))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times4)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times4))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times4)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times4))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times5)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times5))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times5)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times5))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times6)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times6))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times6)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times6))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times7)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times7))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times7)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times7))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times8)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times8))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times8)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times8))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times9)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times9))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times9)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times9))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times10)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times10))$

　$(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times10)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times10))$

この中の，1乗根は $\cos(\frac{2\pi}{21}\times0)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times0)=\cos0+i\sin0=1+0i=1$

3乗根は$\cos(\frac{2\pi}{21}\times7)\pm i\sin(\frac{2\pi}{21}\times7)=\cos\frac{2\pi}{3}\pm i\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$

7乗根は

$\cos(\frac{2\pi}{21}\times3)\pm i\sin(\frac{2\pi}{21}\times3)=\cos\frac{2\pi}{7}\pm i\sin\frac{2\pi}{7}$

$\cos(\frac{2\pi}{21}\times6)\pm i\sin(\frac{2\pi}{21}\times6)=\cos(\frac{2\pi}{7}\times2)\pm i\sin(\frac{2\pi}{7}\times2)$

$\cos(\frac{2\pi}{21}\times9)\pm i\sin(\frac{2\pi}{21}\times9)=\cos(\frac{2\pi}{7}\times3)\pm i\sin(\frac{2\pi}{7}\times3)$

＞１の7乗根

つまり，$x^{21}-1$は21個の複素数解（1個の実数解と20個の虚数解）を持つ。