本日の計算
x^{14}+x^{7}+1の因数分解x^{7}=aと置くと,x^{14}+x^{7}+1=a^2+a+1
a^2+a+1 は1の原始3乗根,つまり
(a-1)(a^2+a+1)=a^3-1
となるので,a=x^{7} に戻せば,
(x^{7}-1)(x^{14}+x^{7}+1)=x^{21}-1
と,1の21乗根の式となる。
21の約数は1, 3, 7, 21 より,
x^{21}-1 は
x^{21}-1 は
x^{1}-1, x^{3}-1, x^{7}-1, x^{21}-1
の原始累乗根を含む。
原始3乗根,原始7乗根は
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1),
x^{7}-1=(x-1)(x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)
より,x^{21}-1 はこれらを因数に含む。 x^{21}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)(x^{12}+\cdots)
さて,
(x^{7}-1)(x^{14}+x^{7}+1)=x^{21}-1
より,
x^{14}+x^{7}+1 は 21乗根x^{21}-1 を7乗根x^{7}-1で割ったものだから,
x^{14}+x^{7}+1 は原始7乗根を含まないが,原始3乗根は含む。
つまり,原始3乗根x^{2}+x+1 で割り切れる。
よって,
x^{14}+x^{7}+1
=(x^{2}+x+1)(x^{12} −x^{11} +x^{9} −x^{8} +x^{6} −x^{4} +x^{3} −x +1)
そして,これの12次式が原始21乗根でもある。
原始21乗根はもともと
\frac{(x^{21}-1)(x-1)}{(x^{7}-1)(x^{3}-1)}=\frac{x^{22}-x^{21}-x+1}{x^{10}-x^{7}-x^{3}+1}
で計算できる。>メビウスの反転公式
\izyohou{1,-1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-1,1}{1,,,-1,,,,-1,,,1}
と書くだけで割り算を計算し,縦書割算のすべての行を出力するスタイルファイル emathW.sty の威力がすごい。
手計算だと,計算違いで何度もやり直すことになる。割り切れることが分かっているから,割り切れずに間違いとわかる。
はじめはブログに載せるにあたって,縦書割り算の1行1行をMathematica で計算して
これを,縦書割り算に1行ずつ写すつもりだった。1行ずつ写すにしても,項の間のスキマをあけたり無茶苦茶面倒な作業を覚悟した。
それが,スタイルファイルで一発で片付いた。
x^{14}+x^{7}+1の因数分解は数学検定に出た問題のようだ。
それが,
「x^{14}+x^{7}+1を実数の範囲で因数分解せよ。」
と出題されたようで,YouTube で突っ込まれていた。
有理数の範囲での因数分解は上記の通りだが,
「実数範囲だと原始21乗根の12次式が6個の2次式に因数分解できるよ。」
という突っ込みである。
x^{14}+x^{7}+1
=(x^{2}+x+1)(x^{12} −x^{11} +x^{9} −x^{8} +x^{6} −x^{4} +x^{3} −x +1)
=(x^{2}+x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times1)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times2)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times4)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times5)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times8)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times10)x+1)
もともと,C.F.ガウスの「代数学基本定理」(n次方程式は高々n個の複素数解を持つ)は,虚数が世間一般に浸透していなかったころ,
「n次式は,必ず1次式と2次式の積に因数分解される」
という上記の形で発表された。
虚数解になる因数は2次式になるから虚数を出さずに表現できる。
x^{21}-1 の因数分解は,
有理数の範囲
x^{21}-1
=(x^{1}-1)(x^3+x+1)(x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)
(x^{12} −x^{11} +x^{9} −x^{8} +x^{6} −x^{4} +x^{3} −x +1)
実数の範囲
x^{21}-1
=(x^{1}-1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times1)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times2)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times3)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times4)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times5)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times6)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times7)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times8)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times9)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times10)x+1)
=(x^{1}-1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times1)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times2)x+1)
(x^2+x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times4)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times5)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times6)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times7)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times8)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times9)x+1)
(x^2-2\cos(\frac{2\pi}{21}\times10)x+1)
複素数の範囲
x^{21}-1
=(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times0)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times0))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times1)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times1))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times1)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times1))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times2)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times2))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times2)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times2))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times3)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times3))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times3)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times3))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times4)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times4))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times4)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times4))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times5)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times5))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times5)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times5))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times6)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times6))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times6)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times6))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times7)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times7))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times7)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times7))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times8)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times8))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times8)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times8))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times9)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times9))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times9)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times9))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times10)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times10))
(x-\cos(\frac{2\pi}{21}\times10)-i\sin(\frac{2\pi}{21}\times10))
この中の,1乗根は \cos(\frac{2\pi}{21}\times0)+i\sin(\frac{2\pi}{21}\times0)=\cos0+i\sin0=1+0i=1
3乗根は\cos(\frac{2\pi}{21}\times7)\pm i\sin(\frac{2\pi}{21}\times7)=\cos\frac{2\pi}{3}\pm i\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}
7乗根は
\cos(\frac{2\pi}{21}\times3)\pm i\sin(\frac{2\pi}{21}\times3)=\cos\frac{2\pi}{7}\pm i\sin\frac{2\pi}{7}
\cos(\frac{2\pi}{21}\times6)\pm i\sin(\frac{2\pi}{21}\times6)=\cos(\frac{2\pi}{7}\times2)\pm i\sin(\frac{2\pi}{7}\times2)
\cos(\frac{2\pi}{21}\times9)\pm i\sin(\frac{2\pi}{21}\times9)=\cos(\frac{2\pi}{7}\times3)\pm i\sin(\frac{2\pi}{7}\times3)
つまり,x^{21}-1は21個の複素数解(1個の実数解と20個の虚数解)を持つ。
0 件のコメント:
コメントを投稿
スパム対策のため,コメントは,承認するまで表示されません。
「コメントの記入者:」は「匿名」ではなく,「名前/URL」を選んで,なにかニックネームを入れてください.URL は空欄で構いません.