山の高さはどうやって測るか

単純な三角比だけでやろうとすると，山の真下までの距離がわからないと，計算できないから，「どうするのだろう」と思う人も多いようだ．

現代はハンディGPS を山頂に持参して数字を読み取ればいいわけだが，そんなもののない昔の地図にも山頂の標高が記されていた．

原理的には，
１．平地で距離が測れる２点（標高もわかっている）を選ぶ．
２．その２点から山を見上げる角度，２点を結ぶ直線と山を見上げる直線との角度を測る．
これだけで，あとは計算でわかる．

例
A地点の標高が12.4m，AB間の距離を測量して52.3m．
山頂Pとして，
AからPを見上げる（水平面との）角3.23度，角ABP=88.7度，角BAP=89.4度
を測量．
三角形ABPについて，角APB=180-88.7-89.4=1.9度
正弦定理より
AB/sin1.9度 = AP/sin86.8度
AP = AB sin86.8度/sin1.9度
= 52.3×0.998440764÷0.0331551784= 1574.97123m
山頂の真下にある，Aからの水平面と同じ高さの点をHとすれば，
PH = APsin3.23度 = 1574.97123×0.0563442797 = 88.7406195m
Aの標高12.4mを足して，101.1m
ついでにAから山頂の真下Hまでの距離は
AH=APsin3.23度=1572.46923m

実際はさらに，地球が球面であることの補正もしなければならない．
地球の半径R=6378.1km
地表の接線方向の距離a=1572.46923m
Hの，Aの高さのとの球面誤差h
について，三平方の定理より
(R+h)^2=R^2+a^2
h^2+2Rh-a^2=0
h=-R+√(R^2+a^2)
=-6378100+√(6378100^2+1572.46923^2)=0.193839813m
よって
101.1+0.2=101.3m

これは数学I「三角比」の練習問題レベル．知ってしまえば「なーんだ，たいしたことはない」