2025年9月25日木曜日

放物線からその焦点を作図

放物線は
「定直線(準線)からの距離と,その直線上にない点(焦点)からの距離が等しい点の軌跡」
と定義される。>以前の記事

逆に「与えられた放物線の焦点を求める」作図を質問された。


焦点は軸の上にあるから,軸の作図が必要。
そのために,放物線にかかる2本の平行線を引く。


そして,放物線との交点の中点を結ぶと,軸と平行な直線が得られる。

この直線に垂線を引き,放物線の交点の垂直二等分線(赤)が軸である。

そして,軸と放物線の交点が頂点となる。

軸と頂点から,焦点を求める。
焦点(p, 0), 準線$x=-p$の放物線 $y^2=4px$ で,$x=p$ のとき$y^2=4p^2$ より,$y=\pm 2p$
ということで,直線$y=2x$に相当する直線を引く。

軸に垂線(ア)を引き,軸の交点と頂点との距離の2倍の点を取り,頂点と結ぶ。
その直線と放物線との交点をとる。
頂点付近拡大

これが,この交点が(p, 2p)であるから,この点を通り,軸に垂直(ア と平行)な直線と軸との交点が,求める焦点である。

これで拾ったパラボラアンテナの焦点がわかるw

ということで,作図に用いた線をすべて残すと
「垂線」や「中点」はすべて垂直二等分線の作図。
つまりコンパスと定規による作図ということ。
さすがに平行線の作図(たとえば同半径の円3つの交点)のコンパスと定規は割愛。といっても,最初の2本の平行線だけだが。(軸は垂直二等分線)

「垂線」や「中点」をとる作図を消去するともうしこしわかりやすい。


拡大



久しぶりに頭を使いましたよ。

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