人間の感覚は対数的

先日，対数の授業で配ったプリント．

1 オクターブ高いと人間は「同じ音」という感覚を持つ．そのとき振動数の比は 1: 2 になる．鍵盤（対数）が1 オクターブの等間隔に並ぶと，振動数（真数）は1:2:4:… と2 の累乗倍になる．

1 オクターブには12 個の半音がある．半音の比を $1:𝑥$ とすると，半音を12 個上げると1 オクターブ<（2 倍）だから，$𝑥^{12} = 2$ を満たす．

$\log_{10} 𝑥^{12} = \log_{10} 2$

$12 \log_{10} 𝑥 = \log_{10} 2$

$\log_{10} 𝑥 =\frac{1}{12}\log_{10} 2 =\frac{1}{12}\times 0.3010 = 0.0251$

$𝑥 = 1.06$

ドミソの振動数

ド→ミ は，半音4 個分 $𝑥^4 = 1.06^4 = 1.262$

ド→ソ は，半音7 個分 $𝑥^7 = 1.06^7 = 1.503$

1：1.26：1.503 はおよそ 1：1.25：1.5 ＝ 4：5：6 に近い．振動数の比が簡単な整数比に近い時に響きがよく「和音」という．

ピアノのように半音を 1：1.059463 に調律するのを平均律，ドミソを完全な整数比に調律するのを純正律という．

ついでに，等差数列の逆数を「調和数列 harmonic sequence」というが，1本の弦のドミソの長さの比が等差数列4, 5, 6 の逆数の比$\frac{1}{4}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{6}$ となることからきているのだろう．

つまり調和数列（弦の長さの比）の逆数が，等差数列（振動数の比）．

 

音圧レベル

個人差はあるが，1000Hz の音が人間の耳に聞こえる最も小さい音を「最小可聴音圧」といって，気圧の変化が20μPa=0.0000002hPa と国際的に定義されている．

「最小可聴音圧の何倍」の対数をデシベルと言い，気圧変化が，10 倍ごとに，音圧レベルが20dB ずつ増える．音圧レベル20dB で基準の10 倍の気圧変化，40dB で100 倍，60dB で1000 倍，80dB で10000倍，100dB で100000 倍である．

1 つの音源から音が出ている時，それと同じ音源を用意して2 つで音を出すと，気圧変化（真数）は1 つの時の2 倍となっているが，そんなにでかい音になったようには感じない．このとき音圧レベル（対数）は6.02dB だけ増加するが，それが人間の感覚に近い．（60dB の音源2 個で 66dB になる．）

このように人間の感覚は「対数的」なのである．