数学的帰納法

数学B，数列では数学的帰納法を扱っている．
でも，難しいからと，学校によっては，扱わないこともあるようだ．
大学の先生に聞いても，
「高校でやっているかやっていないかが，如実にわかる」
という．自分の生徒が，近い将来そんなことで苦労させたくないので，自分は，どんな生徒を相手にしても，扱いたい題材である．面白いしｗ＞以前の記事「すべての人ははげ」

そもそも，数列の冒頭の等差数列，等比数列の一般項の公式も実は「類推」に近く，証明していない．

初項\(a\)，公差\(d\)の等差数列\(\{a_{n}\}\)は，
\(a_{1}=a\)
\(a_{2}=a+d\)
\(a_{3}=a+2d\)
\(a_{4}=a+3d\)
から，
\(a_{n}=a+(n-1)d\)

もちろん，「第n項は 公差d を (n-1)個，初項に足すから」ということで証明と言ってよいだろうけど．

まぁ，高校の公式は，証明なし扱うことも多い．あってもせいぜい「説明」程度．
もちろん，それは「教育的配慮」なので，一概にダメというわけではない．証明に立ち入ることで，木を見て森を見ない状況になりかねない．

でも数学的帰納法は，論証の方法というか，「頭の使い方の訓練」の一つとして，是非とも触れたいのである．

生徒にとって難しいのは，数学的帰納法そのものではなく，その中で行われる（等式や不等式の）証明だろうと思う．
だから自分は，数学的帰納法の導入では，今までの出てきた易しい公式を証明して，証明のスタイル，頭の使い方の流れを身につけてもらうようにしている．
その意味で，等差数列や等比数列の一般項の証明は，とてもよいと思っている．

［定理］
初項\(a\)，公差\(d\)の等差数列\(\{a_{n}\}\)の一般項は，\(a_{n}=a+(n-1)d\)である．
（証明）
[1] \(n=1\) のとき，
右辺\(=a+(1-1)d=a+0d=a=a_{1}=\)左辺
より成り立つ．（・・・あくまで，「等式の証明」である）
[2] \(n=k\) のとき成り立つと仮定する．つまり，
\(a_{k}=a+(k-1)d\) が成り立つと仮定する．
この両辺に \(d\) を加える．（等式の性質：A=B ⇔ A+C=B+C ）
\(a_{k}+d=a+(k-1)d+d\)
このとき，等差数列の定義\(a_{n+1}=a_{n}+d\)より
左辺\(=a_{k}+d=a_{k+1}\)
また，
右辺\(=a+(k-1)d+d=a+(k-1+1)d\\=a+((k+1)-1)d\)
（・・・恒等変形）
したがって，
\(a_{k+1}=a+((k+1)-1)d\)
が成り立つ．
ゆえに，\(n=k+1\) のとき成り立つ．
[1]，[2]より，すべての自然数\(n\)ついて，等差数列の一般項は，\(a_{n}=a+(n-1)d\)である．

質問「a+(k-1)d+d=a+kd-d+d=a+kd から，a+kd=a+(k+1-1)d をどうやって思いつくの？」
これは数学的帰納法にかぎらず，証明全般に言えること．
証明は結論の形から考えるのが常套手段である．＞以前の記事「結論からさかのぼる」
つまり結果の形
\(a_{k+1}=a+((k+1)-1)d\)
をはじめに，最後の行に書き，そこからさかのぼるように証明を書くのである．
証明の流れと，それを書く思考の流れは，普通は一致しないと言ってよい．
補助線の思いつき方と同じである．＞以前の記事「ラストシーンから作る」

さて，我々教員は，
「生徒は答案が書けない」
と嘆くけれど，それは答案の書き方を訓練していないから当然だと思う．
答案というのは作文そのものであるから，答案や証明を書く練習というのは，「段取り良く作文を書く練習」でもある．
数学が「公式を覚えて，当てはめるだけ」と勘違いしている人は多いだろうけれど，本当は作文の書き方につながる，言語教育の一端を担っているのである．