数の感覚

公開鍵暗号の，授業プリントに，「1024ビットの整数10^308個のうち，素数はざっと 10^305個」と書いたら，それを見た数学の先生が，
「素数って，そんなにあるの？　ほとんど素数ってこと？」
「3ケタ違うんですよ．つまり0.1% 程度ってこと．」
「あ，そうか．」
308個のうちの305個（これだと99%）でなくて，10^308個のうち 10^305個．
10^305÷10^308＝0.001

実際は，2進 1024ビットの整数は，
2^1023 ～ 2^1024 -1 の 8.98847×10^307 個で，そのうち，素数は 1.26692×10^305 個しかない．割合にして，0.140949パーセント．ざっと700個に1個．
自分も最初，素数定理で個数を計算したとき，「ずいぶん多いな」と思ったから，人のこと言えないｗ
実際は，スカスカである．

1024ビットの最小の素数は，2^1023 + 1155 の，
8988465674311579538646525953945123668089884894711532863671504057886633
7902750481566354238661203768010560056939935696678829394884407208311246
4237153197370621888839467124327426381511098006230470597265414760425028
8441907534117123144073695655527041361858167525534229314911997362296923
9858152417678164812112069763

1024ビットの最大の素数は，2^1024 -105 の，
1797693134862315907729305190789024733617976978942306572734300811577326
7580550096313270847732240753602112011387987139335765878976881441662249
2847430639474124377767893424865485276302219601246094119453082952085005
7688381506823424628814739131105408272371633505106845862982399472459384
79716304835356329624224137111

であった，その間に，
1266900000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000
個以上の素数があるわけだ．（指数で書くと，上記のような勘違いするから全桁並べてみた．）