階乗

1!=1
2!=2・1=2
3!=3・2・1=6
4!=4・3・2・1=24
5!=5・4・3・2・1=120
ってなぐあいに定義されている階乗である．

組み合わせの公式
\[{}_{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\]

が r=0 や r=n でもつじつまが合うように
0!=1
と約束している．

階乗は自然数に定義されている関数ではあるが，実はある方法で複素数全体で定義されている関数なのである．（ただし，負の整数は無限大に発散するので定義されない）
Google の電卓機能はそれに対応している．(えらいねGoogle)
π!=7.18808273
(2-3i)!=-0.440113408 + 0.0636372431 i



自然数以外の複素数の階乗定義は次のガンマ関数である．
\[\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\,dt\]
これを1回部分積分すると
Γ(z+1)=zΓ(z)
となる．Γ(1)=1と計算されるから，
Γ(4+1)=4Γ(4)=4・3Γ(3)=4・3・2Γ(2)=4・3・2・Γ(1)=4・3・2・1=4!
だからガンマ関数は階乗の複素数への拡張になっている．
（実は積分自体は複素数の実部が正でなければ定義できないが，「解析接続」のワザで実部負に拡張し，それをガンマ関数と呼んでいる．）

計算機（たぶんgoogleも）では積分ではなく，ガンマ関数のもうひとつの表示である無限積を用いて近似計算をしている．