因数分解

まずはあんまり効率的ではないが，「１つの文字についての整理」という最もオーソドックスな方法の繰り返し．手の運動だ．

$x^3+y^3+z^3-(x+y+z)^3$
$=(x^3+y^3)+z^3-(x+y+z)^3$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
という公式で$(x^3+y^3)$を因数分解．
$=(x+y)(x^2-xy+y^2)+z^3-(x+y+z)^3$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ という公式で
$z=a, (x+y+z)=b $
と考えて，$z^3-(x+y+z)^3$ を因数分解．
$=(x+y)(x^2-xy+y^2)$
$+(z-(x+y+z))(z^2+z(x+y+z)+(x+y+z)^2)$



カッコ内を整理．
$=(x+y)(x^2-xy+y^2)+(-x-y)(z^2+z(x+y+z)+(x+y+z)^2)$

$(-x-y)$のマイナスもくくりだす．
$=(x+y)(x^2-xy+y^2)$
$-(x+y)(z^2+zx+zy+z^2+x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)$
$=(x+y)(x^2-xy+y^2)$
$-(x+y)(3z^2+x^2+y^2+2xy+3yz+3zx)$

$(x+y)$が共通因数なので，くくる．
$=(x+y)(x^2-xy+y^2-3z^2-x^2-y^2-2xy-3yz-3zx)$

カッコ内を整理．
$=(x+y)(-3z^2-3xy-3yz-3zx)$

後ろのカッコの -3 がくくりだせる．
$=-3(x+y)(z^2+xy+yz+zx)$

うしろのカッコは，x の1次式，yの1次式，zの2次式なので，次数の低いxで整理．（Ax+Bの形にすると考え，A=(y+z)，B=z^2+yz と考える）
$=-3(x+y)((y+z)x+z^2+yz)$

定数項 B=z^2+yz を因数分解．
$=-3(x+y)((y+z)x+z(z+y))$

共通因数(y+z)が見つかる．
$=-3(x+y)(x+z)(y+z)$

ここから先は，「趣味」で，3つの文字は対称なので文字を循環するように整理．
$=-3(x+y)(y+z)(z+x) $


別解：
$x^3+y^3+z^3-(x+y+z)^3$
の後ろを全部展開して引くと，x^3, y^3, z^3の項が消え，あとは同様の文字整理で．

別解２：
因数定理の利用
x=-y，y=-z，z=-x とおくと 0 になることから，(x-y)，(y-z)，(z-x)を因数に持つ．
次数の関係から
$A(x-y)(y-z)(z-x)$
の形となることがわかり，両者を展開し係数比較で A=-3 を得る．

別解３：
$a+b+c=0$のとき、$a^3+b^3+c^3=3abc$
という恒等式をうまく使う．
$x^3+y^3+z^3-(x+y+z)^3$
$=x^3+(y+z)^3-3yz(y+z)-(x+y+z)^3$

恒等式$(x)+(y+z)+(-(x+y+z))=0$において，
$a=x$，$b=y+z$，$c=(-(x+y+z))$
と考えて，例の恒等式を$x^3+(y+z)^3-(x+y+z)^3$の項に適用．
つまり$x^3+(y+z)^3+(-(x+y+z))^3=3x(y+z)(-(x+y+z))$となるから，
$=-3x(y+z)(x+y+z)-3yz(y+z) $
あとはくくりだすのを繰り返す．