くろべえ: 視覚的に

2020年7月9日木曜日

視覚的に

以前書いた，$\sum_{k=1}^n k^p$ の規則性。＞以前の記事
もっと視覚的にしてみた。

パスカルの三角形

              1
            1   1
          1   2   1
        1   3   3   1
      1   4   6   4    1
    1   5   10  10   5   1
  1   6   15  20  15   6   1
1   7   21  35  35  21   7   1

右端カット。

            1
          1   2
        1   3   3
      1   4   6   4
    1   5   10  10   5
  1   6   15  20  15   6
1   7   21  35  35  21   7

これを，ベルヌーイ数 $B_0$, $B_1$, $B_2$, $B_3$, $\cdots$ の係数にして足す。

$1B_0$
$1B_0+2B_1$
$1B_0+3B_1+3B_2$
$1B_0+4B_1+6B_2+4B_3$
$1B_0+5B_1+10B_2+10B_3+5B_4$
$1B_0+6B_1+15B_2+20B_3+15B_4+6B_5$
$1B_0+7B_1+21B_2+35B_3+35B_4+21B_5+7B_6$

右辺を並べる。
$B_0=1$
$B_0+2B_1=2$
$B_0+3B_1+3B_2=3$
$B_0+4B_1+6B_2+4B_3=4$
$B_0+5B_1+10B_2+10B_3+5B_4=5$
$B_0+6B_1+15B_2+20B_3+15B_4+6B_5=6$
$B_0+7B_1+21B_2+35B_3+35B_4+21B_5+7B_6=7$

上から順に$B_0$, $B_1$, $B_2$, $B_3$, $\cdots$ を求めていく
$B_0=1$
$B_0+2B_1=2$ ⇒ $1+2B_1=2$ ⇒ $B_1=\frac{1}{2}$
$B_0+3B_1+3B_2=3$ ⇒ $1+3\cdot\frac{1}{2}+3B_2=3$ ⇒ $B_2=\frac{1}{6}$
$B_0+4B_1+6B_2+4B_3=4$
⇒ $1+4\cdot\frac{1}{2}+6\cdot\frac{1}{6}+4B_3=4$ ⇒ $B_3=0$
$B_0+5B_1+10B_2+10B_3+5B_4=5$
⇒ $1+5\cdot\frac{1}{2}+10\cdot\frac{1}{6}+10\cdot0+5B_4=5$ ⇒ $B_4=\frac{-1}{30}$
$B_0+6B_1+15B_2+20B_3+15B_4+6B_5=6$
⇒ $1+6\cdot\frac{1}{2}+15\cdot\frac{1}{6}+20\cdot0+15\cdot\frac{-1}{30}+6B_5=6$
⇒ $B_5=0$
$B_0+7B_1+21B_2+35B_3+35B_4+21B_5+7B_6=7$
⇒ $1+7\cdot\frac{1}{2}+21\cdot\frac{1}{6}+35\cdot0+35\cdot\frac{-1}{30}+21\cdot0+7B_6=7$
⇒ $B_6=\frac{1}{42}$

この，$B_0$, $B_1$, $B_2$, $B_3$, $\cdots$ とパスカルの三角形から，$\sum_{k=1}^n k^p$ 作る。

パスカルの三角形

              1
            1   1
          1   2   1
        1   3   3   1
      1   4   6   4    1
    1   5   10  10   5   1
  1   6   15  20  15   6   1
1   7   21  35  35  21   7   1

を係数に$B_0$, $B_1$, $B_2$, $B_3$, $\cdots$ をかける。

$1B_0$
$1B_0$, $1B_1$
$1B_0$, $2B_1$, $1B_2 $
$1B_0$, $3B_1$, $3B_2 $, $1B_3 $
$1B_0$, $4B_1$, $6B_2 $, $4B_3 $, $ 1B_4$
$1B_0$, $5B_1$, $10B_2$, $10B_3$, $ 5B_4$, $ 1B_5$
$1B_0$, $6B_1$, $15B_2$, $20B_3$, $15B_4$, $ 6B_5$, $1B_6$
$1B_0$, $7B_1$, $21B_2$, $35B_3$, $35B_4$, $21B_5$, $7B_6$, $1B_7$

これに$\frac{n^j}{j}$をかけて足したものが$\sum_{k=1}^n k^p$となる。
$\sum_{k=1}^n k^0=B_0\frac{n}{1}$
$\sum_{k=1}^n k^1=B_0\frac{n^2}{2}+B_1\frac{n}{1}$
$\sum_{k=1}^n k^2=B_0\frac{n^3}{3}+2B_1\frac{n^2}{2}+B_2\frac{n}{1}$
$\sum_{k=1}^n k^3=B_0\frac{n^4}{4}+3B_1\frac{n^3}{3}+3B_2\frac{n^2}{2}+B_3\frac{n}{1}$
$\sum_{k=1}^n k^4=B_0\frac{n^5}{5}+4B_1\frac{n^4}{4}+6B_2\frac{n^3}{3}+4B_3\frac{n^2}{1}+B_4\frac{n}{1}$
$\sum_{k=1}^n k^5=B_0\frac{n^6}{6}+5B_1\frac{n^5}{5}+10B_2\frac{n^4}{4}+10B_3\frac{n^3}{3}+5B_4\frac{n^2}{2}+B_5\frac{n}{1}$
$\sum_{k=1}^n k^6=B_0\frac{n^7}{7}+6B_1\frac{n^6}{6}+15B_2\frac{n^5}{5}+20B_3\frac{n^4}{4}+15B_4\frac{n^3}{3}+6B_5\frac{n^2}{2}+B_6\frac{n}{1}$
$\sum_{k=1}^n k^7=B_0\frac{n^8}{8}+7B_1\frac{n^7}{7}+21B_2\frac{n^6}{6}+35B_3\frac{n^5}{5}+35B_4\frac{n^5}{4}+21B_5\frac{n^3}{3}+7B_6\frac{n^2}{2}+B_7\frac{n}{1}$

つまり，
$\sum_{k=1}^n k^0=\frac{n}{1}$
$\sum_{k=1}^n k^1=\frac{n^2}{2}+\frac{1}{2}\frac{n}{1}$
$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n^3}{3}+2\cdot\frac{1}{2}\frac{n^2}{2}+\frac{1}{6}\frac{n}{1}$
$\sum_{k=1}^n k^3=\frac{n^4}{4}+3\cdot\frac{1}{2}\frac{n^3}{3}+3\cdot\frac{1}{6}\frac{n^2}{2}+0\cdot\frac{n}{1}$
$\sum_{k=1}^n k^4=\frac{n^5}{5}+4\cdot\frac{1}{2}\frac{n^4}{4}+6\cdot\frac{1}{6}\frac{n^3}{3}+4\cdot0\cdot\frac{n^2}{1}+\frac{-1}{30}\frac{n}{1}$
$\sum_{k=1}^n k^5=\frac{n^6}{6}+5\cdot\frac{1}{2}\frac{n^5}{5}+10\cdot\frac{1}{6}\frac{n^4}{4}+10\cdot0\cdot\frac{n^3}{3}+5\cdot\frac{-1}{30}\frac{n^2}{2}+0\cdot\frac{n}{1}$
$\sum_{k=1}^n k^6=\frac{n^7}{7}+6\cdot\frac{1}{2}\frac{n^6}{6}+15\cdot\frac{1}{6}\frac{n^5}{5}+20\cdot0\cdot\frac{n^4}{4}+15\cdot\frac{-1}{30}\frac{n^3}{3}+6\cdot0\cdot\frac{n^2}{2}+\frac{-1}{42}\frac{n}{1}$
$\sum_{k=1}^n k^7=\frac{n^8}{8}+7\cdot\frac{1}{2}\frac{n^7}{7}+21\cdot\frac{1}{6}\frac{n^6}{6}+35\cdot0\cdot\frac{n^5}{5}+35\cdot\frac{-1}{30}\frac{n^5}{4}+21\cdot0\cdot\frac{n^3}{3}+7\cdot\frac{1}{42}\frac{n^2}{2}+0\cdot\frac{n}{1}$

よって，
$\sum_{k=1}^n k^0=n$
$\sum_{k=1}^n k^1=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}$
$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}$
$\sum_{k=1}^n k^3=\frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4}$
$\sum_{k=1}^n k^4=\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}+\frac{-n}{30}$
$\sum_{k=1}^n k^5=\frac{n^6}{6}+\frac{n^5}{2}+\frac{5n^4}{12}+\frac{n^2}{12}$
$\sum_{k=1}^n k^6=\frac{n^7}{7}+\frac{n^6}{2}+\frac{n^5}{2}+\frac{-n^3}{6}+\frac{n}{42}$
$\sum_{k=1}^n k^7=\frac{n^8}{8}+\frac{n^7}{2}+\frac{7n^6}{12}+\frac{-7n^4}{24}+\frac{n^2}{12}$