シエルピンスキーギャスケット

パスカルの三角形

              1
            1   1
          1   2   1
        1   3   3   1
      1   4   6   4    1
    1   5   10  10   5   1
  1   6   15  20  15   6   1
1   7   21  35  35  21   7   1

を偶数奇数に分ける

              1
            1   1
          1   0   1
        1   1   1   1
      1   0   0   0   1
    1   1   0   0   1   1
  1   0   1   0   1   0   1
1   1   1   1   1   1   1   1

つまり，

奇数＋奇数＝偶数　⇔　1 + 1 =0
奇数＋偶数＝奇数　⇔　1 + 0 =1
偶数＋奇数＝奇数　⇔　0 + 1 =1
偶数＋偶数＝偶数　⇔　1 + 1 =0

1を黒くすると

これをシエルピンスキーギャスケットという。

「部分が，全体と相似」となる自己相似的なフラクタル図形である。

直線上の位置は1次元。

原点を0に決めれば1つの数で直線上の点が決まる。

平面は，2つの数で位置が決まるので2次元，立体は3次元。

次元は「変数の数」で決まる。

フラクタル次元というものがる。

平面は正方形 □ の辺を2倍にすると，面積が4倍になる。

□□

□□

$4=2^2$ なので2次元。

立方体の辺を2倍にすると，体積が8倍。

つまり$8=2^3$ なので3次元となる。

この次元がフラクタル次元。

シエルピンスキーギャスケットは，

長さを2倍にすると

　▲

▲▽▲

▲ が3つ出来上がる。

つまり $3=2^x$ となる $x$次元。

$2^x=3$ の両辺の $\log$ をとれば，

　$\log 2^x=\log 3$ 

　$x \log 2=\log 3$ 

　$x=\frac{\log 3}{ \log 2}$

底を 10 とすれば，

　$x=\frac{0.4771}{ 0.3010}=1.58$

つまり$2^{1.58}=3$ より

シエルピンスキーギャスケットのフラクタル次元は   1.58次元

なんてことを説明した。

エクセルで作成