分点の作図

分点といえば，一番簡単なのが中点の作図．
中点といえば，すぐ思いつくのが垂直二等分線の作図．

2等分はたやすいが，3等分，23等分とかは，三角形の辺と平行な直線を用いて，作図する．

教科書の問に，線分を1:3に内分する（4等分の）点と，2:3 に内分する（5等分の2個目の）点の作図があった．
例題に 1:2 に内分する（3等分の）点の作図が出ているから，まぁ，「真似しよう」というわけだ．

線分ABの端点Aを通り線分に平行でない直線をとり，その直線上に5等分なら端点からコンパスでおなじ間隔に5個の点を取る．
5個目の点G と B を結び， GB と平行で 2個目の点を通る直線と AB との交点が答えとなる．

三角形の辺と平行な直線の性質である．

平行線の作図ももちろん平行四辺形の作図（2辺の長さをコンパスでコピー）であって，図工の時間のような方法（定規を直線上にずらす）をとってはいけない．


そして，
「4等分なら2等分（垂直二等分線）が2回でできるけどね．」
と別解．

すると，
「5等分も2等分を何回か繰り返せばできませんか？」
との質問．

これはできない．

つまり，
1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，1/64，・・・
の組み合わせで，
2/5
が作れるかという問題であるが，これは有限個では不可能．

実際，
3/8 + 3/128 + 3/2048 + 3/32768 + ・・・
（初項 3/8 公比 1/16 の等比級数）
の極限は
(3/8)÷(1 - (1/16))
=(3/8)÷(15/16)
=(3/8)×(16/15)
=2/5
なので，
1/4 + 1/8 + 1/64 + 1/128 + 1/1024 + 1/2048 + 1/16384 + 1/32768 + ・・・
となり，有限回の2等分では 2/5 を作図できない．

これって十進法の有限小数 0.4 が二進法では
0.011001100110011・・・
という無限循環小数となることを意味している．