数学I までで解く

ネットで見かけた問題。
xを求める時に，加法定理を使った。＞以前の記事

加法定理は数学II なので，それを使わずに。

$\alpha=90^\circ-20^\circ=70^\circ$

$\beta=35^\circ+20^\circ=55^\circ$

$\tan\alpha=\frac{h}{1}$,  $h=\tan70^\circ$

$\tan\beta=\frac{h}{1+k}$,  $1+k=\frac{h}{\tan\beta}=\frac{\tan70^\circ}{\tan55^\circ} $

$\tan35^\circ=\frac{h}{(1+k)+x} $, $(1+k)+x=\frac{h}{\tan35^\circ}$,

$x=\frac{h}{\tan35^\circ}-(1+k)$

　$=\frac{\tan70^\circ}{\tan35^\circ}-\frac{\tan70^\circ}{\tan55^\circ}$

　$=\tan70^\circ(\frac{1}{\tan35^\circ}-\frac{1}{\tan55^\circ})$

$\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}$ より、 $\tan35^\circ=\tan(90^\circ-55^\circ)=\frac{1}{\tan55^\circ}$　

$x=\tan70^\circ(\frac{1}{\tan35^\circ}-\tan35^\circ)$

　$=\tan70^\circ(\frac{1-\tan^2 35^\circ}{\tan35^\circ})$

ここで$\tan70^\circ$ を $\tan35^\circ$ で表すのが数学IIの倍角公式だが，それを使わずに三角形の性質から求める。

一つは三角形の内角の2等分線の性質で，

$m:1=(\tan70^\circ-\tan35^\circ):\tan35^\circ$ より，

$m \tan35^\circ=\tan70^\circ-\tan35^\circ$

$m =\frac{\tan70^\circ-\tan35^\circ}{\tan35^\circ}$

もう一つは三平方の定理

$m^2=(\tan70^\circ)^2+1^2$

$m =\frac{\tan70^\circ-\tan35^\circ}{\tan35^\circ}$

なので，

$ (\frac{\tan70^\circ-\tan35^\circ}{\tan35^\circ})^2 = (\tan70^\circ)^2+1$

$ (\tan70^\circ-\tan35^\circ)^2 = (\tan35^\circ)^2((\tan70^\circ)^2+1)$

$ (\tan70^\circ)^2 -2\tan70^\circ \tan35^\circ+(\tan35^\circ)^2 = (\tan70^\circ)^2(\tan35^\circ)^2 +(\tan35^\circ)^2$

$ (\tan70^\circ)^2 -2\tan70^\circ \tan35^\circ = (\tan70^\circ)^2(\tan35^\circ)^2 $

$ (\tan70^\circ)^1 -2 \tan35^\circ = (\tan70^\circ)^1(\tan35^\circ)^2 $

$ (\tan70^\circ) - (\tan70^\circ)(\tan35^\circ)^2 = 2 \tan35^\circ $

$ \tan70^\circ( 1- \tan^235^\circ) = 2 \tan35^\circ $

$\tan70^\circ=  \frac{2\tan35 ^\circ}{1-\tan^2 35^\circ}$

$x=\tan70^\circ(\frac{1-\tan^2 35^\circ}{\tan35^\circ})$

　$=\frac{2\tan35^\circ}{1-\tan^2 35^\circ}\frac{1-\tan^2 35^\circ}{\tan35^\circ}=2$