数列

$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ の因数分解のYouTube

＞面白い因数分解
数列の考えを使った別解。

$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

$=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5$

は，初項1，公比$x$，項数6の等比数列なので，等比数列の和の公式から，

$1+x+x^2+x^3+x^4+x^5=\frac{1(x^6-1)}{x-1}$

$x^6-1$ の因数分解は，数学IIの教科書の例題レベル。

$x^6-1=(x^3)^2-1=(x^3-1)(x^3+1)$

$=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)$ 

したがって，

$1+x+x^2+x^3+x^4+x^5=\frac{1(x^6-1)}{x-1}$

$=\frac{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)}{x-1}$

$=(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)$